Calculatation de multiplicadores de Lagrange LM de prueba para el modelo de regresión no lineal

Question

Tengo el siguiente modelo no lineal

$(y_t -X_t\alpha)^a=u_t$ donde $u_t$ ~ $N(0,\sigma^2)$

Suponga que usted estima que este modelo consitional en $a=1$.

Calcular el Multiplicador de Lagrange LM prueba de que se puede utilizar para probar esta restricción, sin estimar el modelo sin restricciones.

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Mi intento es el siguiente:

Modelo: $(y_t -X_t\alpha)^a=u_t$ donde $u_t$ ~ $N(0,\sigma^2)$

La hipótesis nula es $$H_0 : a=1$$

Registro de probabilidad de la función es

$\ell=-n/2 ln(2\pi)- n/2 ln(\sigma^2)-1/2\sigma^2 [(y-X\alpha)^a]'[(y-X\alpha)^a]$

$\theta=(\alpha, a, \sigma^2)$

FOC diferenciar w.r.t. un

$g(a)=-\frac{1}{\sigma^2}[(y-X\alpha)^a]ln(y-X\alpha)$

Calcular el restringido estimación de una

$g(\tilde a)=-\frac{1}{\sigma^2}[(y-X\alpha)]ln(y-X\alpha)=0$

Ahora, necesito calcular la información de la matriz de $I(\tilde a)$

Y entonces necesito encontrar la inversa de esta matriz de información, $I(\tilde a)^{-1}$

Y, finalmente, $LM=g(\tilde a) I(\tilde a)^{-1} g(\tilde a)$

No estoy seguro acerca de mi solución. Pero mi intento es así. Y yo pila en el punto a calcular la información de la matriz de $I(\tilde a)$ y después de eso.

Si lo que hice es correcto, ¿cómo puedo calcular la película de la prueba, o si es totalmente equivocado, ¿cómo puedo solucionarlo?

Por favor ayuda me a resolver esta cuestión. Estoy esperando que todo ayuda.

Gracias por toda la ayuda.

Answer 1

Lamento tener que decir que este problema no tiene una solución.

En primer lugar, tenga en cuenta que con el LR de la prueba, se va a estimar los parámetros del modelo restringido, por lo que no hay necesidad de incluir a $a$ en los parámetros a ser estimados. Voy a redefinir su parámetro de $\alpha$ $\beta$ a fin de hacer la diferencia entre él y el parámetro de interés $a$ un poco más claro para el ojo. Yo también voy a redefinir $a$ $1/\text{your}$ $a$. Dada la Normalidad de la asunción, el MLE de $(\beta, \sigma^2)$ se encuentra a través de la estimación de la regresión lineal $y = X\beta$.

Ahora para la prueba. La parte pertinente del registro de probabilidad de la función de colocar todos los términos que no son funciones de $a$ - es:

$$l = -\frac{\Sigma e_t^{2a}}{2\hat{\sigma}^2}$$

La primera y la segunda derivados w.r.t. $a$ son:

$$U(a) = -\frac{\Sigma e_t^{2a}\log e_t}{\hat{\sigma}^2}$$

y

$$U'(a)= -\frac{2\Sigma e_t^{2a}\log^2 e_t}{\hat{\sigma}^2}$$

... y ahora, el punto de fricción debe ser muy claro. ¿Cómo vas a lidiar con el $\log$ negativos $e_t$?

El problema fundamental es que el MLE de $a$ no existe, excepto en racional de los valores de $a$, peor aún únicos con denominadores impares, ya que aumentar los números negativos / errores fraccional de poderes sólo da resultados reales para los poderes racionales con denominadores impares. (Ver https://math.stackexchange.com/questions/317528/how-do-you-compute-negative-numbers-to-fractional-powers para una explicación de esto.) De esta forma se rompe un montón de cálculo: https://math.stackexchange.com/questions/1880741/why-cant-calculus-be-done-on-the-rational-numbers. Con referencia a su pregunta, se rompe la parte de cálculo que se utiliza para derivar la LR test.

Puede ser que usted puede reformular el problema por lo que los errores siguen una simétrica la distribución estable (https://en.wikipedia.org/wiki/Stable_distribution), pero esto te limita a tener (su) $a \leq 1$. Otra alternativa podría ser la $|u_t|^a \sim$ algunos de distribución. Tendrías que tener cuidado al tomar una expectativa que ha $\log |u_t|$ en algún lugar en él; para una gran cantidad de distribuciones, una expectativa sería infinito. Puede ser que hay ayuda para ser encontrado en el análisis no estándar, pero que está bien fuera de mi conjunto de conocimientos matemáticos $> \epsilon$.

Edición en respuesta a las preguntas en los comentarios:

Si, de alguna manera, usted sabe $a$, por lo que, obviamente, no tienen que hacer una prueba. Estimación de $\beta$ puede proceder de varias maneras, pero, básicamente, tendrás que transformar los errores de $e_t$ desde el modelo lineal $y - X\beta = e$ a los errores de $u_t = e_t^{1/a}$. Esto se hace fácilmente mediante la relación de $u_t = \text{sign}(e_t)|e_t|^{1/a}$. Puede implementar la estimación como un simple problema de optimización no lineal utilizando cualquiera de un número de solucionadores de problemas en R, Python, o su idioma de preferencia.