Variable en el límite superior de la suma

Question

Necesito encontrar una solución a $x$ de la siguiente ecuación:
$$\sum_{n=0}^{\left[\frac{0.9}{x}\right]} (1-nx) = 45$$ donde $[.]$ denota el entero más cercano de la función.

Yo soy ingeniero y actualmente estoy haciendo un acelerado haz que necesita para enviar un pulso de 100 ns después de un período de tiempo de espera. Que el período de espera es igual a (1-nx). Quiero que, después de 45 segundos, quiero obtener una frecuencia de 10Hz al final de los 45 segundos (por lo que el tiempo de espera se ha convertido en 0.1). He 1Hz al principio.

He dividido el problema en dos: $$\sum_{n=0}^i (1-nx) = 45$$ donde $i$ es el número entero que se acerca más a la satisfacción de
$$1-ix = 0.1,$$ es decir, $i$ es el entero más cercano a ${0.9\over x}$.

Pero ahora, estoy preocupado; esto es incluso posible en forma discreta? Hay una manera de saber si esto es válido ecuación? Nunca he encontrado variables en suma límites... y no encontrar una manera de salir de ella en internet. Creo que yo no podría estar utilizando la técnica adecuada, tal vez esto es algo más que una suma.

Me encantan las matemáticas, pero yo sólo podría ser malo en ello. Educar a mí !

Answer 1

Dada su comentario de que desea que el límite superior para ser el número entero más cercano a $0.9\over x$, el problema puede ser establecido como un hallazgo $x$ tal que $$\sum_{n=0}^{a(x)} (1-nx) = 45,$$ donde $a(x)=\left[{0.9\over x}\right]$ $[.]$ es el entero más cercano de la función. Ahora $$\begin{align}\sum_{n=0}^a (1-nx) &= \sum_{n=0}^a 1- \sum_{n=0}^a nx\\ &=\sum_{n=0}^a 1- x\sum_{n=1}^a n\\ &=(a+1) -x\,{a(a+1)\over 2} \end{align}$$

where we've used the formula $\sum_{n=1}^n={a(a+1)\over 2}$, which Carl Friedrich Gauss supposedly found in his youth (although it was known long before that).

So, we want to solve for $$ x en la siguiente ecuación: $$(a(x)+1) -x\,{a(x)(a(x)+1)\over 2} = 45.\tag{1}$$

Approximate solution

An approximate solution can be obtained easily by solving equation (1) with $una(x) = {0.9\sobre x}$ (rather than the nearest integer), yielding $x\aprox 0.011136\ldots.$ Para saber lo bueno que esta aproximación es, ahora podemos obtener la solución exacta.

Solución exacta

Reordenando la ecuación (1), obtenemos $$x = 2{a(x)-44\más de una(x)(a(x)+1)}\etiqueta{2} $$

which provides two observations:

1. A solution $$ x (si existe) debe ser un número racional, porque el lado derecho de (2) es un cociente de enteros.
2. Iteración de punto fijo converge a una solución exacta, por ejemplo, si empezamos con $x_0=0.01$ (decir): $$x_{n+1} = 2 {(x_n)-44\más de un(x_n)(a(x_n)+1)},\quad n=0,1,2,\ldots $$

Por lo tanto,

n     x_n
--    -------
0     1/100 
1     46/4095 
2     1/90
3     37/3321
4     37/3321 
...   ...

dar la solución exacta $$x={37\over 3321}=0.\overline{011141222523336344474555856669677807889190003}$$ donde el overline indica el período de la repetición de dígitos decimales.

---

Aquí's una parcela de Wolfram Alpha mostrando exactamente en el lado izquierdo de la ecuación (1) en azul y la aproxima LHS en naranja. La solución en cada caso es el $x$-coordinar, donde la curva cruza la línea horizontal con el objetivo de coordinar $45$:

PD: tenías razón para estar preocupados con la posibilidad de que una solución podría no existir, aunque ocurre que el valor de $45$ es una suerte de elección. Como en la anterior gráfica muestra, no sería ninguna solución para los valores que corresponden a la infinidad de "huecos" donde discontinuidades que se producen (por ejemplo, en el barrio de $45.4$ o $44.8$, por ejemplo).

Answer 2

Esto es sobre todo un comentario sobre la multa respuesta por r.e.s.

Como r.e.s. muestra, si $a$ es el entero más cercano a $9\over10x$, luego

$$x=2{a-44\over a(a+1)}$$

Es decir, que estamos buscando (positivo) entero soluciones a

$${9a(a+1)\over20(a-44)}=a+r$$

con $|r|\le{1\over2}$. (Hay una ambigüedad potencial si hay una solución con $|r|={1\over2}$, pero vamos a ver que esto no ocurre.) Esto puede escribirse como

$$-10\le{a(889-11a)\over a-44}\le10$$

Para $a\gt44$, estas desigualdades se convierte en

$$11a^2-899a+440\lt0\lt11a^2-879a-440$$

mientras que para $a\lt44$ las desigualdades signos se invierten. Esto le da dos intervalos en los que hay que buscar:

$$\left({879+\sqrt{879^2+44\cdot440}\over22},{899+\sqrt{899^2-44\cdot440}\over22} \right)\approx(80.40656,81.23487)$$

y

$$\left({879-\sqrt{879^2+44\cdot440}\over22},{899-\sqrt{899^2-44\cdot440}\over22} \right)\approx(-0.49747,0.492399)$$

El primer intervalo contiene el correspondiente valor entero $a=81$, con el correspondiente valor de $x=2(81-44)/(81\cdot82)=37/3321$. El segundo intervalo contiene sólo los irrelevante valor entero $a=0$. Así vemos que la solución encontrada por r.e.s. es única.

Answer 3

Le pedí a un amigo matemático y que es lo que me dijo: $$\sum{n=0}^\frac{0.9}{x}(1-nx) = \sum{n=0}^\frac{0.9}{x}1 -\sum{n=0}^\frac{0.9}{x}nx = 45$ $ tan dividido que es. $$\sum{n=0}^\frac{0.9}{x}1 = \frac{0.9}{x}+1$ $ Que uno es fácil. $$\sum_{n=0}^\frac{0.9}{x}nx = 0.45+\frac{0.405}{x}$ $ Pero uno es complicado. Él me dijo que era un suma de Gauss. Si alguien puede comentar o precisa qué y cómo la suma gaussiana es resuelta.

Así que finalmente, $$(\frac{0.9}{x}+1)-(0.45+\frac{0.405}{x})=45$ $ $$x = 0.01136...$ $