si y sólo si

Question

¿Si $W_1,\dots, W_k$ es subespacios de un espacio dimensional finito del vector $V$, que $W_1+\cdots+W_k=V$ y quiero mostrar que $V=W_1\oplus\cdots\oplus W_k$ si y sólo si $\dim(V)=\sum{W_i}$, entonces la voluntad lo que se muestra a continuación es suficiente?

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$$V=W_1\oplus\cdots\oplus W_k$ $ $$\iff$ $ $$V=W_1+\cdots+W_k~\text{and}~W_i \cap (W1 + \ldots + W{i-1} + W_{i+1} + \ldots + W_k) = {0}$ $ $$\iff$ $ $$\text{The subspaces $W_i$ are independent; that is, no sum $w_1+\cdots+w_k$ with $w_i$ in $W_i$ is zero except the trivial sum.}$$ $$\iff$ $ $${\scr{B}}={\beta_1,\dots,\beta_k}~\text{is a basis for $V$, where $\beta_i$ is a basis for $W_i$}$$ $$\iff$ $ $$\dim{V}=\dim{(W_1+\cdots+W_k)}=\dim{W_1}+\cdots+\dim{W_k}=~\mid\beta_1\mid+\cdots+\mid\beta_k\mid=k$ $ $$\iff$ $ $$\overset{\text{Does this belong here?}}{\dim{\scr{B}}=k}$ $

Answer 1

Su primera equivalencia es falso: cuando $k \geq 3$, $\bigcap_{i=1}^k W_k = \{0\}$ es demasiado débil para implicar que los espacios de $W_1,\ldots,w_k$ son independientes, es decir, que $W_1 + \ldots + W_k = W_1 \oplus \ldots \oplus W_k$. Por ejemplo, tomar $V = \mathbb{R}^2$, $W_1 = \langle (1,0) \rangle$, $W_2 = \langle (0,1) \rangle$, $W_3 = \langle (1,1) \rangle$. Este es uno de los dos o tres sutiles trampas en álgebra lineal que incluso los matemáticos profesionales puede caer si no tienen cuidado.

Cualquiera de las siguientes es una definición aceptable de independiente subespacios (y que son equivalentes):

(i) Para todo $1 \leq i \leq k$, $W_i \cap (W_1 + \ldots + W_{i-1} + W_{i+1} + \ldots + W_k) = \{0\}$.
(ii) Si para todas las $i$ elegimos un valor distinto de cero $v_i \in W_i$, $\{v_1,\ldots,v_k\}$ es un conjunto linealmente independiente.
(iii) Si para todas las $i$ elegimos un conjunto linealmente independiente $S_i \subset W_i$, luego $S = \bigcup_{i=1}^k S_i$ es un conjunto linealmente independiente.

Tenga en cuenta que si usted cree que (iii) es equivalente a la suma es una suma directa y luego tienes la equivalencia usted está preguntando acerca, así que le sugiero que en lugar de concentrarse en mostrar estas condiciones son equivalentes a su definición de la interna directa sumas.