Una pregunta el limsup

Question

Que $a_n>0$. Demostrar que %#% $ #%

Abogo por la contradicción. Si no es ture, $$\varlimsup{n\to\infty}n\left(\frac{1+a{n+1}}{a_n}-1\right)\geq 1.$ $ qué contradicción voy consigo entonces...

Answer 1

Suponer lo contrario que $n\ge N$, $$ n\left(\frac{1+a_{n+1}}{an}-1\right) \lt1 $$, $n\ge N$, $$ \frac{a{n+1}}{n+1}\lt\frac{an}{n}-\frac1{n+1} $$ se puede demostrar por inducción que \frac{a{n+k}}{n+k}\lt\frac{an}n-\sum{j=1}^ $$ k\frac1 {n + j} $$ ya que la serie armónica diverge, en algún punto $\dfrac{a_{n+k}}{n+k}