Alegría esperada con la calidad de la comida

Question

Me encontré con este problema bastante extraño en un libro de Algoritmos (estoy bastante débil en esta materia, lo sé):

There is a well-known city (which will go nameless here) whose inhabitants     
have the reputation of enjoying a meal only if that meal is the best they 
have ever experienced in their life. Otherwise, they hate it. Assuming meal 
quality is distributed uniformly across a person's life, describe the 
expected number of times inhabitants of this city are happy with their 
meals?

La parte preocupante que más me está "Suponiendo que la calidad de la harina se distribuye uniformemente a lo largo de la vida de una persona" -- ¿qué voy a hacer con él? Si pienso en el problema en términos simples, parece que la media habitante podrá disfrutar de una comida sólo si está por encima de cada comida anterior. Así, la primera vez que tiene una comida, que sin duda va a estar encantado. Pero entonces, ¿qué? De hecho, es posible que la mejor y la mejor de las comidas siguen llegando a su manera, lo que significa que si vive por y para x días y come tres veces al día, es posible para él para ser feliz 3*x veces en su vida.

Estoy convencido de que esta no es la respuesta correcta. En algún nivel, el problema es similar a la inducción, pero no estoy seguro. ¿Cómo tengo que hacer?

Answer 1

Suponga que la comida cualidades son distribuidos de manera uniforme en $(0,1)$. Deje $E(q,N)$ ser el número esperado de "lo mejor de las comidas" (es decir, nuevos registros) en $N$ ensayos, dado que el actual mejor es $q$. La probabilidad de que la siguiente comida es un nuevo mejor es $1-q$, y que en caso de que su calidad se distribuyen de manera uniforme en $(q,1)$: $$ E(p,N) = qE(p,N-1) + (1-q)\left(1+\frac{1}{1-p}\int_{p}^{1}E(q,N-1)dq'\right) \\ =qE(p,N-1) + (1-q)+\int_{p}^{1}E(q,N-1)dq'. $$ Tomando la derivada de esta con respecto a $q$ da $$ E'(q,N)=E(p,N-1)+qE'(q,N-1)-1-E(p,N-1)=qE'(q,N-1)-1. $$ Con las condiciones de contorno que $E(q,0)=0$$E(1,N)=0$, esta recurrencia da $$ E'(q,N)=-(1+q+q^2+\ldots+q^{N-1}). $$ Tomando la integral en $q=0$ da $$ E(0,N)=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\ldots+\frac{1}{N} \sim \log N + \gamma. $$ Así que hay una débil dependencia de cuánto tiempo usted vive.... suponiendo que usted viva $75$ años y comen $3$ comidas al día, esto es $$ E(0,75\times 365 \times 3)\aprox 12 $$ las mejores comidas de siempre.

Answer 2

Que $X_i$ una secuencia de independiente variables uniformemente distribuido sobre $(0,1)$. La variable $X_i$ denotan la calidad de la $i$-esim comida de una persona. La probaility para un habitante ser feliz en la $n$-esim comida es $P(X_n>X_i\, ,\forall i<n as="" comida="" d="" de="" el="" en="" es="" esperado="" est="" feliz="" la="" n="" que="" total="" valor="" vida.=""></n>