Resolver el ecuación diofántica del $x+x^3=5y^2$

Question

<blockquote> <p>Resolver la ecuación de diophantine <span class="math-container">$$x+x^3=5y^2$ $</span></p> </blockquote> <p>Sé que la solución de <span class="math-container">$x=0$</span> y <span class="math-container">$y=0$</span>, pero no podemos encontrar otras soluciones. Si no existen otras soluciones, ¿cómo puedo demostrarlo?</p>

Answer 1

Desde $\gcd(x,1+x^2) = 1$ y tenemos $$x(1+x^2) = 5y^2$$ , podemos decir:

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• caso I $$x= 5a^2 \;\;\;{\rm and}\;\;\; 1+x^2 = b^2$$

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• caso II $$x= a^2 \;\;\;{\rm and}\;\;\; 1+x^2 = 5b^2$$

donde $a,b$ son relativamente primos.

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En el primer caso , se obtiene: $(b-x)(b+x)=1$ así

$b-x=b+x = 1$ o $-1$ e lo $x=0$ e $y=0$.

En el segundo caso tenemos a$$1+a^4 \equiv 0\pmod 5$$ que es impossibile por Fermat poco teorema.