Teorema de Rolle y el intervalo cerrado

Question

Creo que me faltaba/se me escapa un concepto clave del teorema de Rolle. La pregunta dice que se encuentre el valor(es) de c que satisface el teorema de Rolle para $y=-x^2+2$ ; $[-2,2]$

Veo que esto es simplemente una parábola con vértice en $(0,2)$ y que en ese punto es posible una línea horizontal (pendiente $=0$ ).

El teorema establece que si $f$ es continua en el intervalo cerrado $[a,b]$ y diferenciable en el intervalo abierto $(a,b)$ y $f(a)=0$ y $f(b)=0$ entonces hay al menos un punto c en el intervalo $(a,b)$ tal que $f'(c)=0$ .

Así que, primero probé para ver si $f(-2)=0$ y NO lo hace. Y además $f(2)$ NO es igual a $0$ Así que asumí que no podía ir más allá.

¿Es eso correcto? Creo que lo que debería hacer es encontrar las raíces de $f(x)$ y si esas raíces están dentro de $[-2,2]$ [y lo son], entonces encuentra c.

Un poco confundido en este concepto clave de Rolle. Quizás fue un error de imprenta y quisieron poner el intervalo como $[-\sqrt (2), \sqrt (2)]$ ?

¿Los puntos finales tienen que ser utilizados en $f(a)$ ????

Answer 1

Existe una generalización del teorema de Rolle que dice que si $f(a)=f(b)$ existe $c$ tal que $f'(c)=0$ . H $f(-2)=f(2)$ . Esto se puede ver fácilmente en el caso anterior, supongamos que $f$ es continua en $[a,b]$ y diferenciable en $(a,b)$ y $f(a)=f(b)$ . Definir $g$ en $[a,b]$ por $g(x)=f(x)-f(a)$ , $g(a)=g(b)=0$ y existe $c$ tal que $g'(c)=f'(c)=0$ .

https://en.wikipedia.org/wiki/Rolle%27s_theorem