¿Si $A \times B$ es Lebesgue medible en $\mathbb{R}^2$ $B$ Lebesgue mensurable en $\mathbb{R}$ $A$ es así?

Question

Aunque parece simple pero estoy luchando para encontrar una prueba para que sea un motor de arranque para medir theoty. Creo que esta declaración es verdadera y estoy tratando de probarlo. Aquí está mi prueba: escriba <span class="math-container">$A= A \times {0}= \cupi(A{i} \times B_{i})$</span>,

<span class="math-container">$m_1(A)=m_2(A \times {0})=\cup_i m_1(A_i)m_1(B_i)$</span>

¡No sé qué hacer! ¿Es correcto mi planteamiento?

donde <span class="math-container">$m_1,m_2$</span> son 1 y 2 dimensiones medidas en <span class="math-container">$\mathbb{R},\mathbb{R^2}$</span> respectivamente.

Answer 1

La afirmación no es verdadera.
Sugerencia: Considere un conjunto $B$ con medida de 0.

La afirmación es verdadera si $B$ tiene medida positiva. Para probar esto, mostrar que $\mu(A \times B) = \mu^*(A)\mu^*(B) = \mu_*(A) \mu_*(B)$ donde $\mu^*$ es exterior medida de Lebesgue y $\mu_*$ es el interior de la medida de Lebesgue. Esto obliga a $A$ ser medibles.

Answer 2

Esto es falso. Para un contraejemplo, tomar <span class="math-container">$B=\mathbb Q\ $</span> (o incluso <span class="math-container">$B=\emptyset)$</span> y <span class="math-container">$A=$</span> un conjunto de Vitali. Entonces, <span class="math-container">$\lambda^*_2(A\times B)=0$</span> <span class="math-container">$A\times B\in \mathscr M(\mathbb R^2)$</span> así pero el <span class="math-container">$A\notin \mathscr M(\mathbb R).$</span>

Answer 3

Como complemento a las respuestas que muestran que la afirmación puede ser falsa si $B$ tiene medida 0: vamos a ver cómo podemos demostrar que la afirmación es verdadera si $B$ tiene medida positiva.

Considere la función característica $f(x,y) = \chi_{A \times B}(x, y) = \chi_A(x) \chi_B(y)$. Por el Fubini-Tonelli teorema, el hecho de que $f$ es medible y no negativo implica que para casi todos los $y$, la rebanada $f_y : \mathbb{R} \to \mathbb{R}, x \mapsto f(x,y)$, es medible. Desde $B$ tiene medida positiva, debe haber alguna $y \in B$ tales que se cumple esta condición. Pero entonces, $f_y(x) = \chi_A(x)$ para la medición de la $f_y$ implica la medición de la $A$.