Encontrar el determinante de la matriz $n\times n$ $A_n$ $(A_n)_{i,j}={n\choose |i-j|}$.

Question

Me gustaría encontrar el determinante de la matriz $A_n$ dado por $(A_n)_{i,j}={n\choose |i-j|}$ para todos los $n\in\mathbb{Z}_{\ge 1}$ e $i,j\in\{1,2,\ldots,n\}$. Aquí está lo que sabemos hasta ahora:

• $\det(A_n)=0$ si y sólo si $6\mid n$.
• $2^n-1$ es un autovalor de todos los $A_n$, con autovector $(1,1,\ldots,1)$
• Si $n$ es primo, entonces $\det(A_n)\equiv 1\pmod n$
• Si $n+1$ es el primer y $n>2$, a continuación, $\det(A_n)\equiv 0\pmod {n+1}$

Answer 1

Como se señaló, su matriz se circulantes. En particular, si tomamos $P$ a ser la matriz de permutación que se describe aquí, entonces tenemos $$ A = \sum_{k=0}^{n-1} \binom nk P^k = (I + P)^n - I $$ Por lo tanto, podemos calcular su determinante como el producto de todos los valores propios, es decir, $$ \det(A) = \prod_{j=0}^{n-1} [(1 + e^{(2 \pi j/n) i})^n - 1] $$