Vamos enfoque de la suma a través de la Función Hipergeométrica.
Para este propósito vamos a volver a escribir como
$$
\eqalign{
& S(n) = \sum\limits_{\left( {0\, \le } \right)\,k\,\left( { \le \,2n} \right)} {\binom{2n+k}{k} \binom{2n}{k}
{{\left( { - 1} \right)^{\,k} } \over {2^{\,k} \left( {k + 1} \right)}}} = \cr
& = \sum\limits_{\left( {0\, \le } \right)\,k\,\left( { \le \,2n} \right)} {\binom{2n+k}{k} \binom{2n}{k}
{1 \over {\left( {k + 1} \right)}}\left( { - {1 \over 2}} \right)^{\,k} } = \cr
& = \sum\limits_{\left( {0\, \le } \right)\,k\,\left( { \le \,2n} \right)} {t_{\,k} \left( { - {1 \over 2}} \right)^{\,k} } \cr}
$$
El $t_k$ están en la siguiente proporción
$$
\eqalign{
y t_{\,0} = 1 \cr
& {{t_{\,k + 1} } \over {t_{\,k} }} = \cr
y = {{\left( {2n + k + 1} \right)!} \over {\left( {k + 1} \right)!\a la izquierda( {k + 1} \right)!\a la izquierda( {2n - k - 1} \right)!\a la izquierda( {k + 2} \right)}}
{{k!k!\a la izquierda( {2n - k} \right)!\a la izquierda( {k + 1} \right)} \over {\left( {2n + k} \right)!}} = \cr
y = - {{\left( {k + 2n + 1} \right)\left( {k - 2n} \right)} \over {\left( {k + 2} \right)}}{1 \over {\left( {k + 1} \right)}} \cr}
$$
por lo que la suma puede ser expresado como
$$
\eqalign{
& S(n) = \sum\limits_{\left( {0\, \le } \right)\,k\,\left( { \le \,2n} \right)} {\binom{2n+k}{k} \binom{2n}{k}
{{\left( { - 1} \right)^{\,k} } \over {2^{\,k} \left( {k + 1} \right)}}} = \cr
Y = {}_2F_{\,1} \left( {\left. {\matriz{ {2n + 1,\; - 2n} \cr 2 \cr } \,} \right|1/2} \right) \cr}
$$
Para $n=0$ esto da
$$
S(0) = {}_2F_{\,1} \left( {\left. {\matriz{ {1,\;0} \cr 2 \cr } \,} \right|1/2} \right) = 1
$$
mientras que para $0<n$ hemos
$$
\eqalign{
& {}_2F_{\,1} \left( {\left. {\matriz{ {2n + 1,\; - 2n} \cr 2 \cr } \,} \right|1/2} \right)\quad \left| {\;0 < n} \right.\quad = \cr
Y = {{\Gamma \left( 2 \right)} \over {\Gamma \left( {2n + 1} \right)\Gamma \left( { - 2n} \right)}}\sum\limits_{0\, \le \,k\,}
{{{\Gamma \left( {2n + 1 + k} \right)\Gamma \left( { - 2n + k} \right)} \over {\Gamma \left( {2 + k} \right)}}} {1 \over {2^{\,k} k!}} \cr}
$$
Tenga en cuenta que podemos llegar al mismo resultado mediante la expresión de los binomios a través de la función Gamma y
la realización de algunas simplificaciones algebraicas.
A la fracción fuera de la suma se le puede aplicar el Reflejo de la fórmula para la función Gamma,
que en la forma invertida es válida en todo el complejo campo
$$
{1 \over {\Gamma \left( {z + 1} \right)\,\Gamma \left ( {z} \right)}} = - {{\sin \left( {\pi \,z} \right)} \\pi }\quad \left| {\;\forall z \in \mathbb C} \right.
$$
entonces claramente
$$
S(n)\quad \left| {\;0 < n \Z} \right. = \sin \left( {2\pi \n} \right) \cdot \left( \cdots \right) = 0
$$