¿Existen los espacios vectoriales que no se puede dar una norma que hace que el vector de espacio un espacio métrico completo?

Question

Y si es así, ¿cómo puede uno demostrar que no existe ningún tal norma? Supongo que uno puede utilizar la forma del teorema de categoría de Baire que dice que un espacio métrico completo no se puede escribir como una Unión contable de en ninguna parte densos subconjuntos para mostrar que el espacio métrico definido por el espacio de vector dado y norma no es completado pero no tengo ni idea en h ujo de generalizar esta idea a todas las normas posibles.

Answer 1

Si un espacio admite una base finita no enumerable <span class="math-container">$(ei){i\in \bf N}$</span> no puede ser completa, ya que es la Unión de enuramble de espacios dimensionales finitos del vector <span class="math-container">$V_n= vect (e_1,...e_n)$</span>.

Answer 2

Sí. Tomar el espacio de $c_{00}$ de todas las secuencias $(a_n)_{n\in\mathbb N}$ de los números reales tales que a$a_n=0$ si $n\gg1$. Para cada una de las $n\in\mathbb N$, vamos a $e(n)$ ser la secuencia de tal forma que su $n$^th es $1$, donde como todos los demás términos son iguales a $0$. Entonces, para cualquier norma $\lVert\cdot\rVert$ a $c_{00}$, el de la serie$$\sum_{n=0}^\infty\frac{e(n)}{n^2\bigl\lVert e(n)\bigr\rVert}$$is a Cauchy series of elements of $c_{00}$ which doesn't converge in $c_{00}$.

Answer 3

El espacio vectorial $\sigma$ de todas las secuencias en $\mathbb{R}^\omega$ con la propiedad de que $\{n: x_n \neq 0\}$ es finito (generalmente se toma en el subespacio de la topología inducida por el producto (la $\sigma$-producto, esto se llama a veces)) es un ejemplo estándar.

Es una contables de la unión de finito-dimensional subespacios. En cualquier norma de la topología en $\sigma$ de lo finito-dimensionales son subespacios cerrados y vacío interior, de modo que en cualquier tipo de norma de que el espacio no puede ser Baire (y por lo tanto no puede ser completa).