Dados dos mapas biholomórficos tales que$f(z_0)=g(z_0)=0$, demuestran que existe$c$ tal que$f(z)=cg(z)$

Question

Dadas dos biholomorphic mapas de $f:\Omega\rightarrow\mathbb{D}$ e $g:\Omega\rightarrow\mathbb{D}$ tal que $f(z_0)=g(z_0)=0$, demostrar que no existe $c\in\mathbb{C}$ con $|c|=1$ tal que $f(z)=cg(z)$

Si $f$ o $g$ es idéntica a cero, es trivial como $0=c0$, por lo que asumen que son ambos no idéntica a cero. Asumir WLOG,$|f|\leq|g|$. A continuación, $f(z)=(z-z_0)^mk(z)$ e $g(z)=(z-z_0)^nh(z)$ donde $k(z_0)$ e $h(z_0)$ ambos son distintos de cero. Entonces, para $z\neq z_0$, $$\left|\frac{(z-z_0)^{m-n}k(z)}{h(z)}\right|\leq1$$ and there exists some constant $k$ such that $\left|\frac{k(z)}{h(z)}\right|\geq \frac{1}{k}$ so we have $$\frac{|z-z_0|^{m-n}}{k}\leq\left|\frac{(z-z_0)^{m-n}k(z)}{h(z)}\right|\leq 1\Rightarrow|z-z_0|^{m-n}\leq k$$

¿Cómo puedo proceder para mostrar que hay una constante $c$? o estoy totalmente equivocado?

Answer 1

Considere la posibilidad de $f \circ g^{-1}$ este es un automorfismos de a$\mathbb{D}$ desde $f$ e $g$ son biholomorphic. En particular, sabemos que todos los automorfismos de la unidad de disco están dadas por Blaschke (factores dehttp://mathworld.wolfram.com/BlaschkeFactor.html). Por lo tanto, uno tiene \begin{equation} f \circ g^{-1} = e^{i\theta} \frac{z - \alpha}{1-\overline{\alpha}z} \end{equation} En particular, como $f \circ g^{-1} (0) = f(z_0) = 0$, una ve $\alpha = 0$ (esto también puede ser visto por el Blaschke Factor inter swaps $0$ e $\alpha$). Así, en particular, \begin{equation} f \circ g^{-1} = z e^{i \theta} \end{equation} por Lo que se deduce de componer más que la \begin{equation} f = cg \end{equation} para algunos $c$ con magnitud $1$.