Solución de la Oda $\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t} = x^{-n} -2x$

Question

Me estoy preparando para mi simulacros de exámenes, y una de las preguntas anteriores fue

Resolver $$\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t} = x^{-n} -2x$$ for $0<x<\infty$ where $n>0$, subject to $x(1)=1$.

Mi trabajo hasta el momento es la siguiente: Multiplicando ambos lados de la educación a distancia por $x^{n}$ da $$ x^n\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t} = 1 -2x^{n+1}. $$ Poner $p = x^{n+1}$. Entonces $$ \frac{\mathrm{d}p}{\mathrm{d}t} = (n+1)x^{n}\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}, $$ o $$ x^{n}\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t} = \frac{1}{n+1}\frac{\mathrm{d}p}{\mathrm{d}t}. $$ Por lo tanto, la educación a distancia en cuestión puede ser reescrita en la forma de $$ \frac{1}{n+1}\frac{\mathrm{d}p}{\mathrm{d}t} = 1 -2p. $$

Supongamos que, por el momento, que $1-2p\neq 0$. Luego separando variables conduce a $$ \frac{1}{n+1}\frac{\mathrm{d}p}{1 -2p} = \mathrm{d}t, $$ y la integración de ambos lados da $$ -\frac{1}{2}\frac{1}{n+1}\ln{|1-2p|} = t+C $$ o $$ -\frac{1}{2}\frac{1}{n+1}\ln{|1-2x^{n+1}|} = t+C. $$ La condición de $x(1)=1$ conduce a $$ -\frac{1}{2}\frac{1}{n+1}\ln{|1-2\cdot 1|}=-\frac{1}{2}\frac{1}{n+1}\ln{1}= 0 = 1+C, $$ de modo que $C = -1$ e $$ -\frac{1}{2}\frac{1}{n+1}\ln{|1-2x^{n+1}|} = t - 1, $$ y de aquí obtenemos $$ |1-2x^{n+1}| = e^{2(n+1)(1-t)}. $$

Ahora, quería llegar a $x(t)$ explícitamente. He obtenido ese $1-2x^{n+1}\ge 0$ para $x\in\left(0, \frac{1}{2^{n+1}}\right]$ e $1-2x^{n+1}\le 0$ para $x\in\left[\frac{1}{2^{n+1}}, \infty \right)$. Esto nos lleva a "soluciones"(??) $$ \begin{align} x(t) = \begin{cases} &\displaystyle\sqrt[n+1]{\displaystyle\frac{1 - e^{2(n+1)(1-t)}}{2}}\quad\text{ for }x\in\left(0, \displaystyle\frac{1}{2^{n+1}}\right]\\\ &\displaystyle \sqrt[n+1]{\displaystyle\frac{1 + e^{2(n+1)(1-t)}}{2}}\quad\text{ for }x\in\left[\displaystyle\frac{1}{2^{n+1}}, \infty \right). \end{casos} \end{align}$$ pero este algo no tiene sentido, porque le estamos dando una fórmula para $x$ como una función de la $t$ y , al mismo tiempo, la imposición de restricciones en cuanto a que el intervalo de ha $x$ estar dada por una fórmula en particular...

Mi pregunta(a) es(son):

1. Hay una forma más simple para obtener $x(t)$?
2. ¿Cómo podemos reconciliar las restricciones en $x$ (de modo que $1-2x^{n+1}$ es $><0$) con las fórmulas de $x$ como una función de la $t$?

Y, francamente, no estoy seguro de cómo la palabra de mi pregunta(s); tl;dr sería cómo conseguir fórmulas explícitas para $x(t)$ a partir de la educación a distancia - y no implícita relación entre el $|1-2x^{n+1}|$ y algunos $f(t)$)

Answer 1

$p=\frac12$, que es $x(t)=x^*=\sqrt[n+1]{1/2}$, es una constante de la solución. Todas las demás soluciones de $x$ no cruzar esta constante de la solución, es decir, permanecer en un lado de la $x^*$ por el teorema de unicidad. Así, uno llega a la conclusión de que como $2p-1=2x^{n+1}-1>0$ en la condición inicial, por lo que se mantiene para la solución completa. Así que usted directamente a resolver el valor absoluto en $$ |1-2x^{n+1}|=e^{(n+1)(1-t)} $$ a $$ 2x^{n+1}-1=e^{(n+1)(1-t)}\implica que x(t)=\sqrt[n+1]{\frac{1+e^{(n+1)(1-t)}}2}. $$

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En general a la hora de resolver lineal de primer orden de la educación a distancia mediante la separación de variables método, ayuda a traducir la integración constante directamente en un factor después de la exponenciación, la constante en $\ln|w|=u(t)+c$ se sustituye por $C=signum(w(t_0))e^c$ en $w=Ce^{u(t)}$. De aquí que conduce a la $$ 1-2x^{n+1}=Ce^{(n+1)(1-t)}\implica C=1-2x_1^{n+1} $$ para general valor inicial $x(1)=x_1>0$, y por lo tanto a $$ x(t)=\sqrt[n+1]{\frac{1+(2x_1^{n+1}-1)e^{(n+1)(1-t)}}2}. $$

Tenga en cuenta que esta fórmula se guarda la solución de forma automática en el lado derecho de la $\sqrt[n+1]{1/2}$.

Answer 2

Esta respuesta sólo se refiere a su pregunta 1 : $$\text{Is there a simpler way to get } x(t) ?$$

$$\frac{dx}{dt}=x^{-n}-2x$$ $$dt=\frac{1}{x^{-n}-2x}dx$$ $$t=\int \frac{dx}{x^{-n}-2x}$$ $$t=-\frac{1}{2(n+1)}\ln|1-2x^{n+1}|+C$$ $x(1)=1\quad\implies\quad 1=-\frac{1}{2(n+1)}\ln|1-2|+C\quad\implies\quad C=1$ $$t=-\frac{1}{2(n+1)}\ln|1-2x^{n+1}|+1$$

Esta es la solución en la forma $t(x)$. La solución explícita es la inversa de la función de $x(t)$.

$$|1-2x^{n+1}|=e^{-2(n+1)(t-1)}$$ Si $2x^{n+1}<1$ entonces $x=\left(\frac{1-e^{-2(n+1)(t-1)}}{2} \right)^{\frac{1}{n+1}}$

Si $2x^{n+1}>1$ entonces $x=\left(\frac{1+e^{-2(n+1)(t-1)}}{2} \right)^{\frac{1}{n+1}}$

En esta etapa llegamos a la pregunta 2. Esto ya fue discutido por LutzL. No hay necesidad para mí de ir más allá.