¿Es definible la noción de secuencias de Cauchy en un espacio topológico bornological?

Question

Ser una secuencia de Cauchy no es una propiedad topológica, es decir, dos métricas que pueden inducir a la misma topología y, sin embargo, una secuencia que es de Cauchy en uno puede no estar de Cauchy en el otro. Es una propiedad uniforme, aunque, es decir, si dos de las métricas de inducir la misma uniformidad entonces tienen el mismo conjunto de secuencias de Cauchy. Pero me pregunto si de Cauchy secuencias pueden ser definidos en la más débil de las condiciones de un espacio uniforme.

Deje $X$ ser un espacio topológico dotado de una bornology, es decir, una estructura que define una noción de conjuntos acotados. Mi pregunta es, ¿es posible definir la noción de secuencias de Cauchy en términos de este bornology? Para decirlo de otra manera, si dos de las métricas de inducir tanto la misma topología y la misma bornology, entonces ellos tienen el mismo conjunto de secuencias de Cauchy?

Answer 1

Considere la función $f:(0,1)\to\mathbb{R}$ definido por $f(x)=\sin(\frac1x)$. A continuación, $x\mapsto(x,f(x))$ es un homeomorphism de $(0,1)$ a la gráfica de $f$. Sin embargo, $a_n=\frac2{n\pi}$ es una secuencia de Cauchy en $(0,1)$, mientras que $f(a_n)$ no es una secuencia de Cauchy en el gráfico de $f$, ya que el $y$ formulario valores de la secuencia divergente $0,1,0,-1,0,1,0,-1...$. Por otra parte, tanto $(0,1)$ y la gráfica de $f$ están delimitadas métrica de los espacios, de modo que no sólo homeomórficos, pero también 'bornoleomorphic'.