Unicidad de una EDO no lineal

Question

Actualmente estoy revisando las preguntas del examen de cualificación y una de ellas me ha tenido perplejo durante unas semanas. Se nos pide que determinemos si existe o no una solución única de esta ecuación diferencial en una vecindad de $x = 0$ . \begin {Edición} y'' + \frac {yy'}{x^4} + y^2 = 0 , \text { } y(0)=y'(0)=0 \end {Ecuación} Creo que la solución es única con $y = 0$ como la única solución. He conseguido demostrar que una solución no trivial debe satisfacer $y \leq 0$ pero no puedo lidiar con $y < 0$ caso.

Edición: Gracias a Ingix por advertir un error en mi prueba, que he editado a continuación.

En efecto, supongamos que existe $f(x)$ que resuelve la EDO anterior de forma que $f(x) > 0$ en decir $(0,\varepsilon_1]$ , donde $\varepsilon_1$ es positivo. Entonces por MVT, vemos \begin {Edición} f'( \xi ) = \frac {f( \varepsilon_1 ) - f(0)}{ \varepsilon_1 -0} > 0, \xi \in (0, \varepsilon_1 ) \end {Ecuación} En particular, por la continuidad de $\text{ }f'$ , hay un vecindario $(\delta_{1}, \delta_{2}] \subset (0,\varepsilon_1]$ tal que $\text{ } f' > 0$ donde $\delta_{1} = \sup_{x \in [0,\varepsilon_1]}$ tal que $\text{ }f'(x)=0$ .

Entonces por MVT de nuevo \begin {Ecuación} \frac {f'( \delta_2 )-f'( \delta_1 )}{ \delta_2 - \delta_1 } > 0 \end {Ecuación} Por lo tanto, hay un barrio $[\eta_1, \eta_2] \subset (\delta_1, \delta_2)$ tal que $f,f',f'' > 0$ . Por lo tanto, la EDO no puede satisfacerse.

No estoy seguro de cómo proceder para el caso $y < 0$ porque el argumento anterior no daría una contradicción. He intentado reescribir la EDO en forma débil, utilizando $u = y^2 \Rightarrow u' = 2yy'$ y no veo ninguna transformación obvia como la equidimensional en $x/y$ , invariante de escala, o autónomo para simplificar la EDO. ¡Cualquier pista sobre cómo proceder será muy útil!

Answer 1

Obviamente, $y(x)=0$ es una solución. Utilizando la información suministrada, $y=x^au(x)$ , $a\ge 2$ , $u(0)\ne 0$ si existe una solución no nula. Inserta esta y sus derivadas para encontrar $$ [x^au''+2ax^{a-1}u'+a(a-1)x^{a-2}u]+\frac{[x^au][x^au'+ax^{a-1}u]}{x^4}+x^{2a}u^2=0\\~\\ [x^2u''+2axu'+a(a-1)u]+[u][x^{a-2}u'+ax^{a-3}u]+x^{a+2}u^2=0\\~\\ $$ Para obtener un valor no trivial para $u(0)$ al menos dos términos deben permanecer en esta ecuación al establecer $x=0$ . Esto sólo ocurre para $a=3$ con la ecuación restante $$6u(0)+3u(0)^2=0,$$ para que la solución no trivial sea $u(0)=-2$ .

Así, para $y(x)=x^3u(x)$ la ecuación es $$ x^2u''+(6+u)xu'+6u+(3+x^5)u^2=0 $$

Ahora se pueden resolver los coeficientes de la serie de potencias de $u$ usando tu CAS preferido que pueda hacer series de potencias sobre anillos de polinomios. En el código siguiente se utiliza el CAS Magma:

A<a>:=FunctionField(Rationals());
PS<x>:=PowerSeriesRing(A);
Pol<z>:=PolynomialRing(Rationals());
Diff:=func<w|Degree(w) lt 1 select 0 else &+[ Coefficient(w,k)*k*x^(k-1) : k in [1..Degree(w)] ]>;
prec := 40;
u := -2+0*x;
for m in [1..prec] do
    ua := u+a*x^m+O(x^(m+1));
    Dua := Diff(ua); D2ua:=Diff(Dua); 
    eqn := x^2*D2ua + (6+ua)*x*Dua + 6*ua + (3+x^5)*ua^2;
    eqn;
    u := u + Roots(Pol!Coefficient(eqn,m))[1][1]*x^m; 
    m,u;
end for;

con el resultado $$ u(x)=-2 - \frac{2}{17}x^5 - \frac{42}{8959}x^{10} - \frac{841}{5025999}x^{15} - \frac{1134494}{200418411457}x^{20} - \frac{659042819}{3546804627554529}x^{25} - \frac{60555294564493}{10115926601559333469596}x^{30} - \frac{21682330793829581}{113844637973948738866833384}x^{35} - \frac{8763668817047648604028}{1458948251016373153173581517077169}x^{40}+... $$ Esto sugiere fuertemente que la solución tiene la forma general $y(x)=x^3v(x^5)$ . Volver a insertar \begin {align} y'(x)&=5x^7v'(x^5)+3x^2v(x^5) \text { y } \\ y''(x)&=25x^{11}v''(x^5)+50x^6v'(x^5)+6xv(x^5) \end {align} resultados en $$ [25x^{10}v''(x^5)+50x^5v'(x^5)+6v(x^5)]+v(x^5)[5x^5v'(x^5)+3v(x^5)]+x^5v(x^5)^2=0 $$ y con $t=x^5$ $$ 25t^2v''(t)+5t(10+v(t))v'(t)+6v(t)+(3+t)v(t)^2=0, $$ que parece un poco más fácil desde el punto de vista de la singularidad.

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También se puede iniciar el cálculo de la serie de potencias directamente con $y$ con el mismo método,

y := 0*x;
for m in [1..prec] do
    ya := y+a*x^m+O(x^(m+1));
    Dya := Diff(ya); D2ya:=Diff(Dya); 
    eqn := x^4*D2ya + ya*Dya + x^4*ya^2;
    m,eqn;
    n := Valuation(eqn);
    q := Pol!Coefficient(eqn,n);
    if Degree(q) gt 0 then
        rts := Roots(q); "a in ",[ rr[1]: rr in rts];
        r := rts[1][1];
        if r eq 0 and #rts gt 1 then r := rts[2][1]; end if;
        y := y + Roots(q)[1][1]*x^m;
    end if; 
    m,y;
end for;

que devuelve el mismo

-2*x^3 - 2/17*x^8 - 42/8959*x^13 - 841/5025999*x^18 - ...

sólo que con más esfuerzo logístico.