Demostrar que $T$ está limitado y encontrar su norma

Question

Considerar <span class="math-container">$T\colon C[0,1] \to C[0,1]$</span> por

<span class="math-container">$$T(f) = \int_{0}^1 \sin(t) \;f(t) \;dt$$</span>

• Muestran que <span class="math-container">$T$</span> es un operador lineal acotado.

• Encontrar la norma de <span class="math-container">$T$</span>.

• ---

Esta es mi solución

¿Es cierto?

Muchas gracias..

Answer 1

$\|T\| $ no $1$. De hecho, $\sin \, t$ es positivo y creciente en $(0,1)$ lo $|Tf| \leq \sin (1) \|f\|$. Por lo tanto $\|T\| \leq \sin (1)$. En realidad, $\|T\|=\int_0^{1}\sin\, t \, dt$. Para probar esto, usted tiene que utilizar el hecho de que $(L^{1} [0,1])^{*}=L^{\infty}([0,1])$ y el hecho de que las funciones en $L^{\infty}([0,1])$ puede ser aproximado en $L^{1}([0,1])$ norma por funciones continuas cuya sup normas no exceder la norma de la función original.

Aquí está una detallada argumento: existe una secuencia $\{f_n\}$ en $ L^{\infty}([0,1])$ tal que $\int f_n(t)\sin \, t dt \to \int_0^{1}\sin\, t \, dt$ e $\|f_n\|_{\infty} \leq 1$ para todos los $n$. Desde $f_n$'s también están en $L^{1}([0,1])$ existen funciones continuas $g_n$ tal que $\|g_n\|_{\infty} \leq 1$ e $\int|f_n-g_n| \to 0$. Por lo tanto $\lim \inf \int_0^{1} g_n(t) \sin \, \, dt \geq \lim \inf \int_0^{1} f_n(t) \sin \,t \, dt =\int\sin \, t \, dt$.

PS Después de ver Rebellos respuesta que me he dado cuenta de que estoy haciendo las cosas demasiado complicadas. Simplemente tomando el $f=1$ mostrará que la norma es $\int \sin \, t dt$

Answer 2

Muy actualizado respuesta, proporcionando un mayor acercamiento elemental que el lugar correcto y elegante, enfoque de Kavi Rama Murthy :

La linealidad es fácil demostrar (que no lo hayas hecho). Tome $f, g \in C[0,1]$ e $\lambda \in \mathbb R$ y demostrar que $T(\lambda f+g) = \lambda Tf + Tg. $

Por el acotamiento, tenga en cuenta que es :

$$|Tx| = \bigg|\int_0^1 \sin(t)f(t) \mathrm{d}t \bigg| \leq \int_0^1 |\sin(t)f(t)|\mathrm{d}t \leq \|f\|_\infty\int_0^1 |\sin(t)|\mathrm{d}t $$

Pero, tenga en cuenta que $\sin(t) \geq 0$ para $t \in [0,1]$, por lo tanto es :

$$\|Tx\| \leq \|f\|_\infty\int_0^1\sin(t)\mathrm{d}t$$

Eso significa que $T$ es un delimitada lineal operador $T : C[0,1] \to \mathbb R$ con $\|T\| \leq \int_0^1 \sin(t)\mathrm{d}t$.

Ahora, tome $\mathbf{1} \in C[0,1]$. Entonces, es :

$$T(\mathbf{1}) = \int_0^1\sin(t)\mathrm{d}t \implies \|T(\mathbf{1})\| = \int_0^1\sin(t)\mathrm{d}t \implies \|T\| = \int_0^1 \sin(t)\mathrm{d}t$$