¿Demostrar la siguiente desigualdad cuadrática?

Question

Disculpas si esto ha sido preguntado antes - no he podido encontrar una pregunta con este exacto de la desigualdad.

Básicamente, la desigualdad es

$$(a+b+c)^2 \leq 3 a^2 + 3 b^2 + 3 c^2$$

La expansión de un vistazo podemos ver que

$$(a+b+c)^2 = a^2 +b^2 + c^2 + 2ab + 2bc + 2ac$$

así que supongo que es equivalente a mostrar que la

$$ab + bc + ac \leq a^2 + b^2 + c^2$$

Lo que tiene sentido para mí. Pero, ¿cómo es exactamente lo que puedo probar?

Podemos suponer WLOG que cada una de las $a,b,c > 0$ desde $ab \leq |a||b|$. A partir de aquí, supongo que tenemos que mostrar que

$$ab \leq \frac{1}{2} \left(\max(a,b)^2 + \min(a,b)^2 \right)$$

Y el resultado sigue sumando cada término. Pero no estoy realmente seguro de por qué debe contener.

Answer 1

Sigue inmediatamente de Cauchy-Schwarz: <span class="math-container">%#% $ #%</span>

Answer 2

El último paso se desprende fácilmente a <span class="math-container">$(a-b)^{2} \geq 0$</span>. (Considere los casos <span class="math-container">$a y <span class="math-container">$a \geq b$</span>).</span>

Answer 3

Una vez que su desigualdad final simplemente multiplicas ambos lados por <span class="math-container">$2$</span> y te <span class="math-container">$$2a^2 + 2b^2 + 2c^2 - 2ab -2bc-2ca \geq 0$$ This can be rewritten as <span class="math-container">$$a^2 + b^2 - 2ab + a^2 + c^2 - 2ac + b^2 + c^2 -2ca\geq 0$$</span> Which translates to <span class="math-container">$$\Biggl(\Bigl(a-b\bigl)^2 + \Bigl(b-c\Bigl)^2 + \Bigl(c-a\bigl)^2\Biggl) \geq 0$$</span> Which is true <span class="math-container">$\forall \; a, b, c \; \epsilon \; \mathbb{R}.$</span></span>

Answer 4

Es <span class="math-container">$$(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2\geq 0$ $</span>