Si divide a $xy$ $x^2 + y^2$ mostrar que $x=\pm y$

Question

Enunciado del problema : Vamos a $x,y$ ser enteros, muestran que si $xy$ divide $x^2 + y^2$ entonces $x=\pm y.$

Lo que he intentado:

Puedo reducir este para el caso de que $\gcd(x,y)=1$, ya que si $x$ e $y$ tienen un factor común, $d$ decir $d^2$ divide tanto a través de $xy$ e $x^2 + y^2$

Esto me permite introducir otro ecuación de $1=ax+by$ para algunos $a, b.$

Pero después me quedas atascado ...

Answer 1

Tiene poco sentido si cualquiera de $x,y$ es cero.

Voy a seguir con $x,y \neq 0.$

Si $x^2 + y^2 = kxy$ por entero distinto de cero $k,$ hemos $$x^2 - k xy + y^2 = 0$$ Estamos tomando las $y \neq 0,$ así que podemos dividir a través de por $y^2,$ definir $r = \frac{x}{y},$dando $$r^2 - kr + 1 = 0$$ con el entero $k$ y racional $r.$

Así que: ¿cuáles son las raíces $r$de $$r^2 - kr + 1 = 0 \; ? \;$$ Las raíces de hecho ser racional? Para qué valores de a$k$ pueden estar las raíces racionales?

Answer 2

Supongamos que <span class="math-container">$\gcd(x,y)=1$</span> y <span class="math-container">$(xy)\mid(x^2+y^2)$</span>. Entonces <span class="math-container">$y^2\equiv0\pmod x$</span>. Si <span class="math-container">$1=ax+by$</span> y <span class="math-container">$by\equiv1\pmod x$</span> y así <span class="math-container">$1\equiv(by)^2=b^2y^2\equiv0\pmod x$</span>. Así <span class="math-container">$x=\pm1$</span>. Asimismo, <span class="math-container">$y=\pm1$</span>.

Answer 3

Supongamos que <span class="math-container">$xy|x^2+y^2$</span>. Entonces <span class="math-container">$xy|x^2+y^2+2xy=(x+y)^2$</span>. Pero si <span class="math-container">$\gcd(x,y)=1$</span>, entonces también <span class="math-container">1=\gcd(x,x+y)=\gcd(y,x+y)=\gcd(xy,x+y)=\gcd(xy,(x+y)^2) </span> de los cuales a continuación, que <span class="math-container">$xy=\pm 1$</span>.

Answer 4

Racionales Algebraicas Entero Enfoque

Supongamos que $$\frac{x^2+y^2}{xy}=\frac xy+\frac yx\in\mathbb{Z}\tag1$$ Tenga en cuenta que si $q=\frac xy\in\mathbb{Q}$ e $q+\frac1q=n\in\mathbb{Z}$, luego $$\left(q-\frac1q\right)^2=n^2-4\in\mathbb{Z}\tag2$$ Esto significa que $z=q-\frac1q$ es una solución racional a $z^2-(n^2-4)=0$; es decir, $z$ es un racionales algebraicas entero. Por lo tanto, $z\in\mathbb{Z}$ (ver esta respuesta). Por lo tanto, $(n+z)(n-z)=4$ es un número entero de la factorización de $4$ donde ambos factores tienen la misma paridad. Que es, $n+z=n-z=\pm2$, lo que significa que $n=\pm2$ e $q-\frac1q=z=0$. Por lo tanto, $\frac{x^2}{y^2}=q^2=1$, y por lo tanto, $x=\pm y$.

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Bezout Enfoque

Deje $d=(x,y)$ e $u=x/d$ e $v=y/d$. Entonces, existen $a,b$ , de modo que $au+bv=1$. Supongamos que $$\begin{align} n &=\frac{x^2+y^2}{xy}\\ &=\frac{u^2+v^2}{uv}\\ &=\frac{b^2u^2+(1-au)^2}{bu(1-au)}\\ &=\frac{\left(a^2+b^2\right)u^2-2au+1}{bu-abu^2}\tag3 \end{align}$$ Entonces $$\frac1u=n(b-abu)+2a-\left(a^2+b^2\right)u\in\mathbb{Z}\tag4$$ Por lo tanto, $u\cdot\frac1u=1$ es una parte integral de la factorización de $1$. Que es, $u=\pm1$. Del mismo modo, $v=\pm1$.

Por lo tanto, $x=\pm d$ e $y=\pm d$, lo que significa que $x=\pm y$.

Answer 5

Si <span class="math-container">$(x,y)=d,$</span> y <span class="math-container">$\dfrac xX=\dfrac yY=d$</span> que <span class="math-container">$(X,Y)=1$</span>

Por lo tanto, necesitamos <span class="math-container">$XY$</span> <span class="math-container">$X^2+Y^2$</span> de dividir

<span class="math-container">$\implies X|(X^2+Y^2)\iff X|Y^2$</span> <span class="math-container">$(X,Y)=1$</span> que es posible sólo si <span class="math-container">$X=\pm1$</span>

Del mismo modo <span class="math-container">$Y=\pm1$</span>