Racionales Algebraicas Entero Enfoque
Supongamos que
$$
\frac{x^2+y^2}{xy}=\frac xy+\frac yx\in\mathbb{Z}\tag1
$$
Tenga en cuenta que si $q=\frac xy\in\mathbb{Q}$ e $q+\frac1q=n\in\mathbb{Z}$, luego
$$
\left(q-\frac1q\right)^2=n^2-4\in\mathbb{Z}\tag2
$$
Esto significa que $z=q-\frac1q$ es una solución racional a $z^2-(n^2-4)=0$; es decir, $z$ es un racionales algebraicas entero. Por lo tanto, $z\in\mathbb{Z}$ (ver esta respuesta). Por lo tanto, $(n+z)(n-z)=4$ es un número entero de la factorización de $4$ donde ambos factores tienen la misma paridad. Que es, $n+z=n-z=\pm2$, lo que significa que $n=\pm2$ e $q-\frac1q=z=0$. Por lo tanto, $\frac{x^2}{y^2}=q^2=1$, y por lo tanto, $x=\pm y$.
Bezout Enfoque
Deje $d=(x,y)$ e $u=x/d$ e $v=y/d$. Entonces, existen $a,b$ , de modo que $au+bv=1$. Supongamos que
$$
\begin{align}
n
&=\frac{x^2+y^2}{xy}\\
&=\frac{u^2+v^2}{uv}\\
&=\frac{b^2u^2+(1-au)^2}{bu(1-au)}\\
&=\frac{\left(a^2+b^2\right)u^2-2au+1}{bu-abu^2}\tag3
\end{align}
$$
Entonces
$$
\frac1u=n(b-abu)+2a-\left(a^2+b^2\right)u\in\mathbb{Z}\tag4
$$
Por lo tanto, $u\cdot\frac1u=1$ es una parte integral de la factorización de $1$. Que es, $u=\pm1$. Del mismo modo, $v=\pm1$.
Por lo tanto, $x=\pm d$ e $y=\pm d$, lo que significa que $x=\pm y$.