Problema
Dejemos que $f(x)$ sea diferenciable sobre $[0,1]$ , $f(0)=f(1)=0$ et $|f'(x)|\leq M$ para $x\in[0,1]$ . Prueba $$\int_0^1 f(x){\rm d}x\leq \frac{M}{4}.$$
Prueba
Según el teorema del valor medio de Lagrange, $$\forall x \in (0,1/2]:f(x)=f(x)-f(0)=xf'(\xi),0<\xi<x\leq 1/2.$$ Así, $$\forall x \in (0,1/2]:|f(x)|=x|f'(\xi)|\leq Mx,$$ que también es válida para $x=0$ en realidad, por la verificación.
Igualmente, $$\forall x \in [1/2,1):f(x)=f(x)-f(1)=(x-1)f'(\eta),1/2 \leq x<\eta<1.$$ Así, $$\forall x \in [1/2,1):|f(x)|=(1-x)|f'(\eta)|\leq M(1-x),$$ que también es válida para $x=1$ .
De ello se desprende que \begin{align*} \int_0^1f(x){\rm d}x\leq \left|\int_0^1f(x){\rm d}x\right| \\ &=\left|\int_0^{\frac{1}{2}}f(x){\rm d}x+\int_{\frac{1}{2}}^1 f(x){\rm d}x\right| \\&\leq \left|\int_0^{\frac{1}{2}}f(x){\rm d}x \right|+\left|\int_{\frac{1}{2}}^1 f(x){\rm d}x\right|\\ &\leq \int_0^{\frac{1}{2}}|f(x)|{\rm d}x+\int_{\frac{1}{2}}^1 |f(x)|{\rm d}x\\ &\leq M\int_0^{\frac{1}{2}}x{\rm d}x+M\int_{\frac{1}{2}}^1 (1-x){\rm d}x\\ &=\frac{M}{8}+\frac{M}{8}\\ &=\frac{M}{4} \end{align*}
