Transformaciones conformales globales 2D y el argumento$z= \frac1w$

Question

Por ejemplo, en Blumenhagen del CFT, no es un argumento estándar que determina que a nivel mundial se define de conformación de las transformaciones en la esfera de Riemann donde

$$l_n = -z^{n+1} \partial_z$$ es un elemento de la Witt álgebra. En este argumento, se nota que la $l_n$ es no-singular en $z=0$ sólo para $n\geq -1$. También la sustitución de $z=-\frac1w$, nos encontramos con

$$l_n = -\left(-\frac1w\right)^{n-1}\partial_w$$ no es singular en $w=0$ sólo para $n\leq +1$. Por lo tanto, las transformaciones globales generados por $\{l_{-1},l_0,l_1\}$.

¿Por qué es la sustitución de $z=-\frac1w$ especial? Por ejemplo, si yo uso $z = -\frac{1}{w^2}$ me podría repetir el argumento anterior y la conclusión de $n \leq 1/2$.

Answer 1

El signo menos no es esencial, así que vamos a quitar por la simplicidad. Un atlas de la esfera de Riemann, decir $M$ ( que es un 1-dimensional complejo colector), está dada por dos coordenadas de los gráficos

1. $z:M\to\mathbb{C}$, lo que cubre la totalidad de la $M$ , excepto el "infinito" $i\in M$.

2. $w:M\to\mathbb{C}$, lo que cubre la totalidad de la $M$ , excepto el "origen" $o\in M$.

Hay un holomorphic transición mapa: $w=1/z$ en la superposición $M\backslash\{i,o\}$. En coordenadas polares $z=re^{i\theta}$, tenemos $w=e^{-i\theta}/r$. Por lo tanto, la monodromy $z\to e^{2\pi i}z$ conduce a la correcta opuesto monodromy $w\to e^{-2\pi i}w$ en el gráfico, es decir, si nos círculo alrededor del origen $o$ un tiempo, en una tabla, que corresponde a un círculo alrededor de la infinidad $i$ una vez en la dirección opuesta en la otra tabla.

En contraste, una transición mapa de la forma $z =1/w^m$, donde $m\in \mathbb{N}\backslash\{1\}$, OP sugiere, llevaría a mal monodromy propiedades de $w\to e^{-2\pi i/m}w$, y de ahí que no se corresponden topológicamente a una esfera de Riemann.