Ejemplo de un colector liso paralelizable que no es un Grupo de Lie

Question

Todos los ejemplos que conozco de múltiples que son paralelizables son Grupos de Lie. ¿Alguien puede señalar un ejemplo fácil de una variedad lisa que no sea un Grupo de Lie? ¿Hay condiciones en un colector liso paralelizable que lo obligue a ser un grupo de mentiras?

Answer 1

El ejemplo clásico es $S^7$ . Esto proviene de los octoniones, que no son asociativos, por lo que los octoniones unitarios no forman un grupo de mentiras.

Answer 2

Cualquier cerrada, orientable $3$-colector $X$ es parallelizable. Por otro lado, la Mentira grupos tienen $\pi_2$ trivial, y hay una gran cantidad de $X$ que no. (No es trivial encontrar ellos, sin embargo. Tenga en cuenta que cualquier $X$ debe tener $\pi_1 X\not = 0$ por la dualidad de Poincaré, y asféricas (por ejemplo, hiperbólico) $X$ ha $\pi_2 X = 0$ así. $3$-colectores son raros.)

(La manera más fácil de probar la primera afirmación es señalar que los únicos obstáculos a la trivialidad de la $TX$ son los Stiefel-Whitney clases; y $w_1 = 0$ por orientability y $w_2 = 0$ por el Wu fórmula, ya que estamos muy bien en baja dimensión. La segunda es prácticamente un folclore teorema, pero no es muy difícil de probar directamente, ya sea a través de la teoría de Morse o mínimos de los modelos.)