Es posible la definición de "finito libre de grupos" ? esto puede hacer que sea más fácil lidiar con presentaciones en grupo ?
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Jeff
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La pregunta está mal planteada. Pero permítanme mencionar una manera de cómo hacer que sea preciso.
Si $\mathcal{C}$ hormigón es una categoría, es decir, una categoría equipado con un olvidadizo functor $U : \mathcal{C} \to \mathsf{Set}$, libre de $\mathcal{C}$-objeto se define generalmente para ser una de la forma $F(X)$ donde $X$ es un conjunto y $F : \mathsf{Set} \to \mathcal{C}$ es de izquierda adjunto de $U$. En otras palabras, tenemos $\hom_{\mathcal{C}}(F(X),G) \cong \hom_{\mathsf{Set}}(X,U(G))$ natural, en $G \in \mathcal{C}$. Para ejemplo tenemos las habituales nociones de libre grupos, libre de $R$-módulos, y si $R$ es conmutativo libre conmutativa $R$-álgebra es un polinomio de álgebra $R$. Tomando $\mathcal{C}=\mathsf{FinGrp}$, se obtiene la noción de libre finito (grupo). He puesto los soportes de aquí porque no quiero decir (gratis y finito) grupos. Por ejemplo, el trivial grupo es el libre finito (grupo) por $\emptyset$ (en general, libre de objetos en $\emptyset$ es el mismo como un objeto inicial). Yo afirmación de que no existen otros:
Suponga que $X$ es un conjunto no vacío y que $F(X)$ es un grupo finito con la propiedad $\hom_{\mathsf{FinGrp}}(F(X),G) \cong \hom_{\mathsf{Set}}(X,U(G))$, de forma natural en $G \in \mathsf{FinGrp}$ donde $U(G)$ denota el conjunto subyacente de un grupo finito $G$. A continuación, tenemos un mapa de $\iota : X \to U(F(X))$ lo que induce a la bijection (Yoneda). Elija algunas de $x_0 \in X$, y elegir algunos finito grupo cíclico $G$ con generador de $g$ cuyo orden es mayor que el orden de $\iota(x_0)$. Definir $f : X \to U(G)$ a ser el mapa, que es constante $g$. Luego hay un homomorphism $\tilde{f} : F(X) \to G$ tal que $\tilde{f} \circ \iota = f$. En particular, el orden de $\tilde{f}(\iota(x_0))=g$ divide el orden de $\iota(x_0)$, una contradicción. $\square$
Hemos demostrado que el functor $\mathsf{FinGrp} \to \mathsf{Set},~ G \mapsto \hom_{\mathsf{Set}}(X,U(G))$ no es representable. Pero tiene una propiedad relacionada con eso. Digamos, por ejemplo,$X=\{x_0\}$, por lo que consideramos justo $U$. El conjunto subyacente $U(G)$ de un grupo finito es la dirigida unión de la $n$-torsión subconjuntos $U_n(G) = \{g \in G : g^n = 1\}$$n \in \mathbb{N}^+$. Para $n|m$ tenemos $U_n \subseteq U_m$. De ello se sigue que $$U = \varinjlim_n U_n \cong \varinjlim_n \hom_{\mathsf{FinGrp}}(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z},-)$$ está dirigido colimit de representable functors, es decir, ind-representable. Uno puede mostrar que la categoría de ind-representable functors en $\mathsf{FinGrp}$ es equivalente a la categoría de pro-grupos finitos. Aquí, $U$ corresponde a la pro-finito de finalización de la $\widehat{\mathbb{Z}} = \varprojlim_n \mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$$\mathbb{Z}$, que es en realidad la libre pro-finito grupo en un generador. Aunque no tenemos libre de grupos finitos, tenemos libre pro-grupos finitos (al menos en un número finito de generadores).
Mr Rowing
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La Burnside grupo $B(n,m)$ es, en cierto sentido, el "$n$- grupo generador con exponente $m$". Aquí "exponente $m$" significa $x^m=1$ todos los $x \in B(n,m)$. Curiosamente, algunos de estos son finitos, y algunos no lo son: $B(1,n)$ es cíclico de orden $n$, pero creo que aún se desconoce si o no $B(2,5)$ es finito. Usted puede leer acerca de estos grupos en el artículo de wiki http://en.wikipedia.org/wiki/Burnside_group
zyx
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Los grupos han de primer orden axiomatization, y se podría repetir para los grupos de la definición de pseudo-finito campos, que son los infinitos campos de la satisfacción de las mismas penas que (todos) los campos finitos en el primer orden de teoría de la conmutativa campos.
[Editar. La búsqueda muestra que la teoría existe como se esperaba, pero es mucho más complicada que la teoría de la pseudofinite campos.]
La libre $n$-generador de pseudo-finito grupo sería el grupo que contiene a $n$ distintos elementos con ninguna de las otras propiedades, salvo los que le siguen desde el primer orden de teoría de pseudofinite grupos y el axioma de "no existir $n$ distintos no de elementos de identidad".
