¿La energía de un oscilador armónico accionado al azar crecerá hasta el infinito o oscilará alrededor de un valor finito?

Question

La ecuación de movimiento para un no amortiguados oscilador armónico, con controlador de $f=f(t)$ está dada por: $$\ddot{x}+x=f.$$ Deje que las condiciones iniciales dado por: $$x(0)=\dot{x}(0)=0.$$ Si $f=\cos(t)$ , entonces la solución es: $$x(t)=\frac{1}{2}t\sin(t).$$ Por lo tanto, una resonancia es la instalación y la energía del oscilador va a crecer para siempre. Si $f=\cos(\omega t)$ donde $\omega\ne1$, la solución es: $$x(t)=\frac{2}{\omega^2-1}\sin\left(\frac{\omega-1}{2}t\right)\sin\left(\frac{\omega+1}{2}t\right),$$ por lo tanto, la energía oscila alrededor de algún valor finito. Mi pregunta es, si $f$ fueron reemplazados con algunos aleatoria continua conductor donde la frecuencia de perfil resmbled que decir de ruido blanco gaussiano, sería la energía del oscilador crecer para siempre o es oscilan alrededor de algún valor finito?

¿Alguien sabe de una simple función podría reemplazar a$f$ con generar un ruido blanco continuo conductor?

Answer 1

Si usted tiene un aleatoria Gaussiana de la fuerza, la ecuación se convierte en una ecuación de Langevin. En los físicos de la notación, habría que escribir $$ \ddot x + x = \lambda \xi(t) \tag{1}$$ con $\lambda$ la fuerza del azar de la fuerza y la (el soporte denota que el estocástico promedio) $$\langle \xi(t) \rangle = 0, \quad \text{and} \quad \langle \xi(t) \xi(t') \rangle = \delta(t-t')\,. \tag{2}$$ Tenga en cuenta que en matemáticas en lugar de ecuaciones diferenciales estocásticas son más convencionales.

Supongamos que $x(0)=\dot x(0)=0$. Podemos resolver (1) para obtener $$ x(t) = \lambda \int_0^t\!\sin(t-t') \xi(t')\,dt'\,. \tag{3}$$ Este es un punto de vista estocástico solución, ya que depende de la función random $\xi(t)$. Sin embargo, a partir de (3) junto con (2) se puede calcular predicciones estadísticas. Por ejemplo, el promedio de la posición está dada por $$\langle x(t) \rangle =0\,,$$ que no es inesperado (sólo tienes que comparar a un paseo aleatorio). Así, en promedio, el oscilador no difieren, ya que ni siquiera se mueven.

Por supuesto, el más razonable de medir si el oscilador armónico realiza una desenfrenada de oscilación es la varianza. Obtenemos $$\langle x(t)^2 \rangle = \lambda^2 \int_0^t \int_0^t\!\sin(t-t') \sin(t-t'') \langle\xi(t')\xi(t'')\rangle\,dt''\,dt' =\lambda^2 \int_0^t \sin^2(t-t')\,dt' = \lambda^2 \left(\frac{t}2 - \frac{\sin(2t)}{4}\right)\,. $$

A partir de esto podemos ver que la típica de la amplitud de la oscilación, dado por $\sqrt{\langle x(t)^2 \rangle }$ se comporta como $$ \sqrt{\langle x(t)^2 \rangle} \sim \lambda \sqrt{\frac{t}{2}}$$ para $t\to\infty$; es decir, la oscilación crece sin límites. Sin embargo, la amplitud de la oscilación sólo crece como $\sqrt{t}$ en lugar de proporcional a $t$.

Answer 2

¿Alguien sabe de una simple función podría reemplazar f con a generar un ruido blanco continuo conductor?

No estoy seguro de si este enfoque ayudará a usted, pero aquí está. Mi acercamiento a problemas como el que se presenta está relacionada con la implementación de dicho problema y, a continuación, obtener, al menos, numérico, el resultado. Habiendo dicho esto, yo lo haría de la siguiente manera.

Considere la posibilidad de un número finito de discreto ruido blanco Gaussiano que se almacena en una matriz $G(n\Delta t)$, $n$ de $0$ a $N$. Esto puede ser interpolados mediante un polinomio $P(t)$ orden $N-1$ , la cual es única. Este polinomio debe ser la solución que usted está buscando para $t\in[0,N\Delta t]$. A partir de esto se puede calcular su función de controlador de usar

$$f(t)=\frac{d^2 P}{dt^2}(t) + P(t)$$