21 votos

Demostrar la relación entre la longitud y anchura del rectángulo es racional.

Asumir que hay un rectángulo combinarse por cuadrados finitos, y no son los pequeños cuadrados de igual tamaño. Además, las longitudes de las plazas pueden ser irracional.

La pregunta es "¿podemos conocer la proporción de la longitud y ancho de este rectángulo es racional?"

Supongo que la respuesta es "sí"! (al considerar muchos casos). Sin embargo, no tengo ni idea para probarlo.

11voto

Adil Mehmood Puntos 182

El problema es equivlaent a la siguiente declaración:

Un rectángulo con lados de 1 y $x$, donde $x$ es irracional, no puede ser "mosaico" por un número finito de plazas.

Resulta que este es un problema bien conocido y el de la prueba se copia a continuación de la siguiente fuente:

http://circuit.ucsd.edu/~yhk/ece269-win18/pdfs/matousek.pdf

Sin embargo, no pude encontrar el nombre del autor.

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1voto

De hecho, la relación entre la longitud y el ancho debe ser racional, incluso si nosotros no requerimos de los cuadrados de diferente tamaño. La primera prueba de ello fue dado por Max Dehn [Deh03]. Un corto y elegante de la prueba aparece en las Pruebas DEL LIBRO (ver [AZ14, Capítulo 28]). Además, he trabajado muy similar a prueba en [Dob16], que tenía la intención de ser accesible para estudiantes de pregrado de matemáticas de los estudiantes de mi universidad. (No está claro para mí que en principio se concibió de esta prueba; la prueba original de Dehn parece ser mucho más implicado).

Un breve bosquejo de las ideas detrás de esta prueba: vamos a $s_1,\ldots,s_n$ denotan las longitudes de los lados de los cuadrados en el suelo de baldosas, y deje $w,h$ indican la anchura y la altura del rectángulo grande. Además, vamos a $\mathscr{L} \subseteq \mathbb{R}$ ser $\mathbb{Q}$-subespacio vectorial de $\mathbb{R}$ atravesado por $s_1,\ldots,s_n$. (En otras palabras: $\mathscr{L}$ es el conjunto de todos racional de las combinaciones lineales de $s_1,\ldots,s_n$.)

La primera observación importante es que: por un arbitrario $\mathbb{Q}$-espacio vectorial $V$ y un arbitrario $\mathbb{Q}$-bilineal mapa de $f : \mathscr{L} \times \mathscr{L} \to V$, uno tiene $$ f(w,h) = \sum_{i=1}^n f(s_i,s_i).\tag{1} $$ Intuitivamente, esto es la generalización de la idea de que el área del rectángulo original es la suma de las áreas de los cuadrados en el suelo de baldosas. De hecho, el área habitual de la función se produce como un caso especial, si elegimos $V = \mathbb{R}$ e $f(x,y) = x\cdot y$. (Para una descripción más detallada de la prueba de (1), véase [Dob16, Lema 3.2].)

Ahora, si $\varphi : \mathscr{L} \to \mathbb{Q}$ es cualquier forma lineal, podemos considerar que el $\mathbb{Q}$-bilineal mapa de $f_\varphi : \mathscr{L} \times \mathscr{L} \to \mathbb{Q}$ dado por $f_\varphi(x,y) = \varphi(x) \cdot \varphi(y)$. Por (1), tenemos $$ \varphi(w)\cdot \varphi(h) = f_\varphi(w,h) = \sum_{i=1}^n f_\varphi(s_i,s_i) = \sum_{i=1}^n \varphi(s_i)^2 \geq 0. $$ En particular, si $\varphi(w) = 0$, entonces tenemos que tener en $\varphi(s_1) = \cdots = \varphi(s_n) = 0$, y por lo tanto $\varphi = 0$ (desde $\mathscr{L}$ es distribuido por $s_1,\ldots,s_n$). A partir de esto es fácil ver que $\mathscr{L}^*$, y por lo tanto $\mathscr{L}$, es en más de una dimensión. Claramente también tenemos $\dim(\mathscr{L}) \geq 1$, ya que contiene el número cero, por lo que llegamos a la conclusión de que $\mathscr{L}$ es unidimensional.

Desde $\mathscr{L}$ contiene $s_1,\ldots,s_n$, también contiene $w$ e $h$. De ello se sigue que todo lo en $\mathscr{L}$ es racional, múltiplo de, digamos, $w$. De hecho, hemos demostrado algo más fuerte: no sólo el $h$, pero también se $s_1,\ldots,s_n$ son racionales múltiplos de $w$.

Referencias:

[AZ14]: Martin Aigner, Günter M. Ziegler, las Pruebas DEL LIBRO, Quinta Edición, Springer-Verlag Berlin-Heidelberg, 2014.

[Deh03]: M. Dehn, Über Zerlegung von Rechtecken en Rechtecke, Mathematische Annalen, Vol. 57 (1903), número 3, pp 314-332.

[Dob16]: Josse van Dobben de Bruyn, suelo de Baldosas de un rectángulo con plazas, notas para el curso SPC enseñó en la Universidad de Leiden, disponible aquí.

1voto

Joe Gauterin Puntos 9526

Para un entero $n \ge 1$, vamos a $[n]$ ser un corto de la mano para el intervalo de números enteros $\{ 1, 2,\ldots, n \}$.

Deje $\{ s_1, s_2, \ldots, s_p \}$ el conjunto de los lados de un montón de plazas que cubrir un rectángulo de dimensión $w \times h$.

Desde $\mathbb{R}$ es un espacio vectorial sobre $\mathbb{Q}$, hay una base de hamel $E$ de $\mathbb{R}$ sobre $\mathbb{Q}$. Cada número real puede ser únicamente se expresa como una combinación lineal finita de elementos de $E$ con coeficientes racionales. Habrá un número finito de $e \in E$ que aparecen en la expansión de $s_1, \ldots, s_p$. Deje $e_1, \ldots, e_q \in E$ ser aquellos que aparezcan en la expansión de algunos $s_i$. Habrá $p \times q$ coeficientes de $\alpha_{ij} \in \mathbb{Q}, (i,j) \in [p] \times [q]$ tales que

$$s_i = \sum_{j=1}^q \alpha_{ij} e_j\quad\text{ for } i \in [p]$$

Además, para cada una de las $j \in [q]$, hay algunos $i \in [p]$ con $\alpha_{ij}\ne 0$.

Cambiar la escala de $e_i$ si es necesario, podemos asumir que todos los $\alpha_{ij} \in \mathbb{Z}$.

Bajo este contexto, es fácil ver que podemos encontrar enteros $w_j, h_j \in \mathbb{Z}, j \in [q]$ tales que

$$w = \sum_{j=1}^q w_j e_j\quad\text{ and }\quad h = \sum_{j=1}^q h_j e_j$$ Para cualquier $j \in [q]$, definir la función de $f_j : [0,w] \times [ 0, h ] \to \mathbb{R}$ por $f_j(x,y) = \frac{\alpha_{ij}}{s_i}$ siempre $(x,y)$ está cubierto por un cuadrado de lado a$s_i$. Aparte de un conjunto de medida cero, $f_j$ está bien definido. Es una constante a trozos y función integrable sobre a$[0,w]\times[0,h]$. Podemos evaluar su integral sobre la $[0,w]\times [0,h]$ en dos órdenes diferentes.

Aparte de un número finito de selección de $y_0$, la línea de $y = y_0$ cortar a través de un número finito de plazas "normalmente". Deje $s_{i_1}, s_{i_2}, \ldots, s_{i_r}$ ser los lados de los cuadrados que cortar a través. Tenemos

$$\int_0^w f_j(x,y_0) dx = \sum_{k=1}^r \int_{\sum_{\ell=1}^{k-1} s_{i_\ell}}^{\sum_{\ell=1}^{k} s_{i_\ell}}\frac{\alpha_{i_\ell j}}{s_{i_\ell}} dx = \sum_{k=1}^r \alpha_{i_\ell j} \in \mathbb{Z} $$ Aviso $$\sum_{j=1}^q e_j \int_0^w f_j(x,y_0) dx = \int_0^w \sum_{j=1}^q e_j f_j(x,y_0) dx = \int_0^w dx = w$$ Obtenemos

$$\sum_{j=1}^q \left(\sum_{k=1}^r \alpha_{i_\ell j}\right)e_j = w = \sum_{j=1}^q w_j e_j$$

Desde $e_j$ son lineales independientes de más de $\mathbb{Q}$, obtenemos

$$\int_0^w f_j(x,y_0) dx = \sum_{k=1}^r \alpha_{i_\ell j} = w_j$$

A partir de esto, podemos deducir $$\int_0^h\int_0^w f_j(x,y) dx dy = w_j h$$

Por un argumento similar, tenemos

$$\int_0^w\int_0^h f_j(x,y) dy dx = h_j w$$

Dado que estas funciones son integrables, tenemos

$$w_j h = \int_0^h\int_0^w f_j(x,y) dx dy = \int_0^w\int_0^h f_j(x,y) dy dx = h_j w$$

Desde $w \ne 0$, algunos $w_j \ne 0$. Vamos a decir $w_1 \ne 0$, tenemos $w_1 h = h_1 w \implies h_1 \ne 0$. Como resultado, $$\frac{w}{h} = \frac{w_1}{h_1} \in \mathbb{Q}$$

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