Para un entero $n \ge 1$, vamos a $[n]$ ser un corto de la mano para el intervalo de números enteros $\{ 1, 2,\ldots, n \}$.
Deje $\{ s_1, s_2, \ldots, s_p \}$ el conjunto de los lados de un montón de plazas que cubrir un rectángulo de dimensión $w \times h$.
Desde $\mathbb{R}$ es un espacio vectorial sobre $\mathbb{Q}$, hay una base de hamel $E$ de $\mathbb{R}$ sobre $\mathbb{Q}$. Cada número real puede ser únicamente se expresa como una combinación lineal finita de elementos de $E$ con coeficientes racionales.
Habrá un número finito de $e \in E$ que aparecen en la expansión de $s_1, \ldots, s_p$.
Deje $e_1, \ldots, e_q \in E$ ser aquellos que aparezcan en la expansión de algunos $s_i$.
Habrá $p \times q$ coeficientes de $\alpha_{ij} \in \mathbb{Q}, (i,j) \in [p] \times [q]$ tales que
$$s_i = \sum_{j=1}^q \alpha_{ij} e_j\quad\text{ for } i \in [p]$$
Además, para cada una de las $j \in [q]$, hay algunos $i \in [p]$ con $\alpha_{ij}\ne 0$.
Cambiar la escala de $e_i$ si es necesario, podemos asumir que todos los $\alpha_{ij} \in \mathbb{Z}$.
Bajo este contexto, es fácil ver que podemos encontrar enteros $w_j, h_j \in \mathbb{Z}, j \in [q]$ tales que
$$w = \sum_{j=1}^q w_j e_j\quad\text{ and }\quad h = \sum_{j=1}^q h_j e_j$$
Para cualquier $j \in [q]$, definir la función de $f_j : [0,w] \times [ 0, h ] \to \mathbb{R}$ por $f_j(x,y) = \frac{\alpha_{ij}}{s_i}$ siempre $(x,y)$ está cubierto por un cuadrado de lado a$s_i$.
Aparte de un conjunto de medida cero, $f_j$ está bien definido. Es una constante a trozos y función integrable sobre a$[0,w]\times[0,h]$. Podemos evaluar su integral sobre la $[0,w]\times [0,h]$ en dos órdenes diferentes.
Aparte de un número finito de selección de $y_0$, la línea de $y = y_0$ cortar a través de
un número finito de plazas "normalmente". Deje $s_{i_1}, s_{i_2}, \ldots, s_{i_r}$ ser los lados de los cuadrados que cortar a través. Tenemos
$$\int_0^w f_j(x,y_0) dx
= \sum_{k=1}^r \int_{\sum_{\ell=1}^{k-1} s_{i_\ell}}^{\sum_{\ell=1}^{k} s_{i_\ell}}\frac{\alpha_{i_\ell j}}{s_{i_\ell}} dx
= \sum_{k=1}^r \alpha_{i_\ell j}
\in \mathbb{Z}
$$
Aviso
$$\sum_{j=1}^q e_j \int_0^w f_j(x,y_0) dx =
\int_0^w \sum_{j=1}^q e_j f_j(x,y_0) dx = \int_0^w dx = w$$
Obtenemos
$$\sum_{j=1}^q \left(\sum_{k=1}^r \alpha_{i_\ell j}\right)e_j
= w = \sum_{j=1}^q w_j e_j$$
Desde $e_j$ son lineales independientes de más de $\mathbb{Q}$, obtenemos
$$\int_0^w f_j(x,y_0) dx = \sum_{k=1}^r \alpha_{i_\ell j} = w_j$$
A partir de esto, podemos deducir
$$\int_0^h\int_0^w f_j(x,y) dx dy = w_j h$$
Por un argumento similar, tenemos
$$\int_0^w\int_0^h f_j(x,y) dy dx = h_j w$$
Dado que estas funciones son integrables, tenemos
$$w_j h = \int_0^h\int_0^w f_j(x,y) dx dy = \int_0^w\int_0^h f_j(x,y) dy dx = h_j w$$
Desde $w \ne 0$, algunos $w_j \ne 0$. Vamos a decir $w_1 \ne 0$, tenemos
$w_1 h = h_1 w \implies h_1 \ne 0$. Como resultado,
$$\frac{w}{h} = \frac{w_1}{h_1} \in \mathbb{Q}$$