Suma cerrada de conjuntos

Question

¿Por qué es que si tenemos un conjunto compacto $X$ y un conjunto cerrado $Y$ entonces la suma de Minkowski $X+Y$ está necesariamente cerrado? (Perdón por seguir haciendo preguntas sobre la suma de Minkowski, estoy tratando de averiguar cómo funcionan estas cosas.) Gracias.

Answer 1

(Asumo que el escenario para esta pregunta es un espacio vectorial normado $V$ )

Supongamos que $z_n$ es una secuencia en $X+Y$ y asumir que converge a algún punto $z$ en $V$ . Queremos demostrar que $z$ está en $X+Y$ . Por definición de la suma de Minkowski, debe existir $x_n \in X, y_n \in Y$ tal que $z_n=x_n+y_n$ . Desde $X$ es compacto, existe una subsecuencia $x_{n_i}$ tal que $x_{n_i} \rightarrow x$ como $i \rightarrow \infty$ , donde $x$ está en $X$ . Así, $y_{n_i}=z_{n_i}-x_{n_i} \rightarrow z-x$ . Desde $Y$ es cerrado, tenemos que $z-x$ está en $Y$ y así $z=x+(z-x)$ está en $X+Y$ como se desee.

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Cabe destacar que es no suficiente para tener simplemente $X$ y $Y$ ambos cerrados. Por ejemplo, supongamos que $V=\mathbb{R}$ , $x=\mathbb{Z}$ y $y=\sqrt{2}\mathbb{Z}$ . Entonces $X$ y $Y$ están cerradas pero $X+Y$ es un conjunto denso contable.

Answer 2

Aquí hay una prueba que funciona en cualquier espacio vectorial topológico.

Si $z \notin X + Y$ , entonces para cada $x \in X$ tenemos $z - x \notin Y$ ya que $Y$ es cerrado y la adición es continua hay conjuntos abiertos $B_x$ que contiene $x$ y $U_x$ que contiene $z$ tal que $(U_x - B_x) \cap Y = \emptyset$ . Por la compacidad de $X$ una colección finita $B_{x_1}, \ldots, B_{x_n}$ cubre $X$ . Así, $U = U_{x_1} \cap \ldots \cap U_{x_n}$ es un conjunto abierto que contiene $z$ que no se cruza con $X + Y$ .

Answer 3

Aquí va: si denotamos $\overline{A}$ para la adhesión de $A$ , si $X$ es compacto y $Y$ es otro conjunto, tenemos $$ \overline{X+Y} = \overline X + \overline Y. $$ $(\subseteq)$ Dejemos que $z \in \overline{X+Y}$ . Por lo tanto, existe una secuencia $\{z_n\} \in X+Y$ tal que $z_n \to z$ . Pero $z_n = x_n + y_n$ con $x_n \in X$ y $y_n \in Y$ y como $X$ es compacto, existe una subsecuencia $x_{n_k}$ tal que $x_{n_k} \to x \in \overline X$ . Pero eso significa $$ y_{n_k} = x_{n_k} + y_{n_k} - x_{n_k} = z_{n_k} - x_{n_k} \to z - x \in \overline Y $$ porque $y_{n_k} \in Y$ . Por lo tanto, $z = z-x + x \in \overline X + \overline Y$ por lo tanto, la inclusión.

$(\supseteq)$ Dejemos que $z \in \overline X + \overline Y$ . Así, $z = x+y$ y $x_n \to x \in \overline X$ , $y_n \to y \in \overline Y$ y así $x_n + y_n \to x+y = z \in \overline {X+Y}$ .

Necesitaba la compacidad de $X$ para mostrar la igualdad, pero no necesitaba el hecho de que $Y$ es. Como los conjuntos compactos son cerrados, $X = \overline X$ y $Y = \overline Y$ Así que $X+Y = \overline X + \overline Y = \overline { X+Y}$ .

Espero que eso ayude,