Un ejemplo típico de Homeomorfismo

Question

El conjunto $\mathbb{R}^2-\{(0,0)\}$ con la topología habitual es:

(A) Homeomorfo al disco unitario abierto en $\mathbb{R}^2$

(B) el cilindro $\{(x,y,z)\in \mathbb{R}^3/ x^2+y^2=1 \}$

(C) el paraboloide $\{(x,y,z)\in \mathbb{R}^3/ z=x^2+y^2 \} $

(D) el paraboloide $\{(x,y,z)\in \mathbb{R}^3/ z=xy \} $

He probado qué propiedad topológica no se mantiene bajo homeomorfismo. Estoy un poco confundido en el gráfico de (b),(c) y (d) porque no tengo ningún software relacionado con los gráficos 3d. Por favor, dame una sugerencia. ¿Es esto cierto? $\mathbb{R}^2-\{(0,0)\}$ es homeomorfo a $S^2 = \{x\in \mathbb{R}^3/ \|x\|=1\}$ ? si no es cierto entonces dar alguna pista para la opción (a).Gracias de antemano.

Answer 1

Va a ser difícil encontrar un invariante que distinga estos espacios de $ \Bbb R^2 \setminus \{(0,0)\} $ Si sólo conoces la compacidad, la conectividad y la conexión de caminos. Si supieras cuál es el grupo fundamental de un espacio, esto sería bastante sencillo. Tal como está, lo mejor sería demostrar que estos espacios son homeomorfos a un espacio que sabes que no es homeomorfo a $ \Bbb R^2 \setminus \{(0,0)\} $ .

En particular, lo intentaría para (A), (C) y (D). Una pista para el cilindro: ¿ves que $ \Bbb R^2 \setminus \{(0,0)\} $ es homeomorfo a un disco abierto con un disco cerrado eliminado del interior?

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El grupo fundamental de un espacio es un grupo cuyos elementos son curvas cerradas del espacio. Bueno, eso no es del todo cierto: decimos que dos curvas cerradas son equivalentes si se puede variar continuamente una a la otra y hablamos de las dos indistintamente.

Para convertir este conjunto en un grupo necesitamos una operación de grupo. En este caso, elegimos de antemano un punto base en el espacio donde comenzarán y terminarán nuestras curvas cerradas. Para hacer una nueva curva cerrada a partir de otras dos, las concatenaremos, es decir, recorremos la primera y luego la segunda. No es terriblemente difícil demostrar que esto convierte nuestro conjunto en un grupo.

Por ejemplo, se puede demostrar que el grupo fundamental de $ \Bbb R^2 \setminus \{(0,0)\} $ es isomorfo al grupo aditivo de los enteros. Para ver la intuición que hay detrás de esto, mira una curva cerrada de $ \Bbb R^2 \setminus \{(0,0)\} $ , si no da la vuelta $(0,0)$ entonces podríamos reducirla para que toda la curva sea sólo un punto constante. Sin embargo, si la curva da la vuelta $(0,0)$ Entonces, el número de veces (y en qué dirección) que la curva rodea el origen determina con qué curvas es equivalente.

Answer 2

El espacio $\mathbb{R}^2 \setminus \{(0,0)\}$ no es homeomorfo a $(a)$ , $(c)$ o $(d)$ pero es homeomorfo a $(b)$ .

Para demostrar que $\mathbb{R}^2 \setminus \{(0,0)\}$ es homeomorfo al cilindro $(b)$ , defina el siguiente mapa. Para el círculo de radio $r$ alrededor del origen en $\mathbb{R}^2 \setminus \{(0,0)\}$ , mapea este círculo de forma homeomórfica sobre el círculo del cilindro en $z = \tan\left(\frac{\pi r}{r+1} - \frac{\pi}{2} \right)$ . Esto cubre todos los valores posibles de $z$ , por lo tanto, todo el cilindro.

A continuación, observe que $\mathbb{R}^2$ es homeomorfo a los espacios topológicos $(a)$ , $(c)$ y $(d)$ a través de los mapas:

$(a)$ Dejemos que $D$ denotan el disco de la unidad abierta. Entonces el mapa $D \to \mathbb{R}^2$ dado por $x \mapsto x/(1-\|x\|)$ es un homeomorfismo.

$(c)$ Dejemos que $P_1$ denotan el paraboloide. Entonces el mapa $\mathbb{R}^2 \to P_1$ dado por $(x,y) \mapsto (x,y,x^2+y^2)$ es un homeomorfismo.

$(d)$ Dejemos que $P_2$ denotan el paraboloide. Entonces el mapa $\mathbb{R}^2 \to P_1$ dado por $(x,y) \mapsto (x,y,xy)$ es un homeomorfismo.

Por lo tanto, para demostrar $\mathbb{R}^2 \setminus \{(0,0)\}$ no es homeomorfo a $(a)$ , $(b)$ o $(c)$ basta con demostrar que $\mathbb{R}^2 \setminus \{(0,0)\}$ no es homeomorfo a $\mathbb{R}^2$ .

Para ello, utilizamos la noción de curvas homotópicas. En un espacio topológico $X$ dos curvas cerradas (mapas continuos $\gamma : [0,1] \to X$ con $\gamma(0) = \gamma(1)$ ) son homotópicas si se pueden deformar continuamente de una a otra. Por ejemplo, en $\mathbb{R}^2$ El círculo unitario y el círculo de radio 2 (centrado en el origen) son homotópicos, trasladando cada punto del círculo unitario a su correspondiente punto del círculo de radio 2, a lo largo de la línea que los une. Asimismo, el círculo unitario es homotópico a la curva constante en el origen.

De forma más opaca, una homotopía entre curvas cerradas $\gamma_1$ y $\gamma_2$ es un mapa continuo $H:[0,1]\times[0,1] \to X$ tal que $H(0,t) = \gamma_1(t)$ y $H(1,t) = \gamma_2(t)$ para todos $t\in [0,1]$ .

Como las homotopías son deformaciones continuas, si $f: X \to Y$ es un homeomorfismo y $\gamma_1$ , $\gamma_2$ son homotópicos en $X$ entonces las curvas cerradas $f\circ\gamma_1$ y $f\circ\gamma_2$ son homotópicos en $Y$ .

Utilicemos este hecho. La intuición es que cualquier curva cerrada en $\mathbb{R}^2$ es homotópica a un punto, mientras que esto no es cierto para las curvas cerradas que encierran el origen en $\mathbb{R}^2 \setminus \{(0,0)\}$ . Ahora demostraremos este último hecho.

Lema: Una curva cerrada que encierra el origen en $\mathbb{R}^2 \setminus \{(0,0)\}$ no es homotópico a un punto.

Prueba: Supongamos que $\gamma_1$ es una curva cerrada en $\mathbb{R}^2 \setminus \{(0,0)\}$ que rodea el origen, y $\gamma_2$ es la curva constante en algún punto $c\in\mathbb{R}^2$ . En aras de la contradicción, supongamos que $H(s,t)$ es una homotopía entre $\gamma_1$ y $\gamma_2$ . Sea $I$ sea el subconjunto de $[0,1]$ tal que para cada $x\in I$ la curva cerrada $H(x,t)$ encierra el origen. Dado que $[0,1]$ es compacto, vemos que la distancia $|H(x,t) - H(x+\delta, t)|$ alcanza un máximo a medida que $t$ se extiende sobre $[0,1]$ y este máximo puede hacerse tan pequeño como se desee cambiando $\delta$ . Por lo tanto, podemos elegir $\delta$ para que si $x\in I$ entonces $x+\delta \in I$ . De ello se desprende que $I$ es un subconjunto abierto de $[0,1]$ . Ahora, toma una secuencia convergente $\{x_n\} \to x$ en $I$ . Si la distancia $|H(x_n, t)|$ está acotado por debajo como $t$ se extiende sobre $[0,1]$ entonces $H(x,t)$ también debe encerrar el origen. Si esta distancia se hace arbitrariamente pequeña: dejemos que $t_n \in [0,1]$ sea tal que $|H(x_n, t_n)|$ es el más pequeño. Dado que $[0,1]$ es compacto, existe una subsecuencia convergente $t_{n_k} \to t$ . Entonces $|H(x,t)| = 0$ , lo cual es una contradicción. Por lo tanto, $I$ es un subconjunto cerrado de $[0,1]$ . Como $[0,1]$ está conectado, $I$ debe ser todo $[0,1]$ y, por tanto, la homotopía no puede existir.

Por fin, podemos demostrar $\mathbb{R}^2$ no es homeomorfo a $\mathbb{R}^2 \setminus \{(0,0)\}$ . Supongamos que $f: \mathbb{R}^2 \setminus \{(0,0)\} \to \mathbb{R}^2$ es un homeomorfismo. Elija una curva cerrada $\gamma$ encerrando el origen en $\mathbb{R}^2 \setminus \{(0,0)\}$ . Sea $H$ sea una homotopía entre $f\circ \gamma$ y un punto en $\mathbb{R}^2$ . Entonces $f^{-1} \circ H$ es una homotopía entre $\gamma$ y un punto en $\mathbb{R}^2 \setminus \{(0,0)\}$ . Por el lema, esto es imposible.

Las ideas sobre la homotopía de las curvas constituyen la base de la topología algebraica y de la teoría del grupo fundamental. El grupo fundamental de un espacio topológico $X$ es el conjunto de clases de equivalencia de curvas cerradas, bajo la relación de equivalencia de homotopía. Lo que demostramos aquí es esencialmente que los grupos fundamentales de $\mathbb{R}^2$ y $\mathbb{R}^2 \setminus \{(0,0)\}$ son no isomorfas.

Como comentario final, el grupo fundamental de $\mathbb{R}^2$ es 0 porque toda curva cerrada es homotópica a un punto. ¿Cuál es el grupo fundamental de $\mathbb{R}^2 \setminus \{(0,0)\}$ ? ¿Puede demostrar su suposición?