Usando cálculo de residuos para evaluar una integral trigonométrica

Question

Este es mi intento parcial de la solución. No estoy seguro de cómo proceder más adelante.

Answer 1

Consejo: Tienes un polo en $z=0$ de orden $5001$ y necesitas la fórmula para calcular el residuo.

Añadido: Otra forma de encontrar el residuo es calcular la serie de Laurent del integrando. Rearreglando la integral como

$$\frac{2\pi}{2^{5000}} \frac{1}{2\pi i}\int_{|z|=1}\frac{(1+z^2)^{5000}}{z^{5001}}dz.$$

Luego, calculando la serie de Laurent usando el teorema binomial se obtiene

$$ \frac{(1+z^2)^{5000}}{z^{5001}} = \sum_{m=0}^{5000} {5000 \choose m} z^{2m-5001}. $$

Ahora, el residuo es el coeficiente de $z^{-1}$ que corresponde a $m=2500$ en la serie anterior y es igual a

$$ r = \frac{2\pi}{2^{5000}}{5000 \choose 2500} . $$