Convergencia de esta integral.

Question

Posible duplicado:
Algunas preguntas sobre la función gamma.

Mi libro de texto de estadísticas prescrito por mi escuela indica que la integral $$\Gamma(n)=\int_{0}^{\infty}e^{-x}x^{n-1}dx$$ is convergent for $n> 0$ .No demuestra la afirmación. Entonces, ¿alguien puede ayudarme a probarlo? ¡Gracias de nuevo!

Answer 1

Supongo que $n$ es un número real. Dividir la gamma integral impropia $$\Gamma(n)=\int_{0}^{\infty}e^{-x}x^{n-1}dx\tag{0}$$ into $I_1+I_2$, where $$I_1=\int_{0}^{1}e^{-x}x^{n-1}dx\tag{1}$$ y $$I_2=\int_{1}^{\infty}e^{-x}x^{n-1}dx\tag{2}$$

1. Para demostrar que la integral de la $I_2$ es siempre convergente el uso, el hecho de que para cualquier número real $\alpha$ integral $$\int_{1}^{\infty }e^{-x}x^{\alpha }dx\etiqueta{3}$$ es convergente, por el límite de la prueba de comparación $$\lim_{x\rightarrow \infty }\frac{e^{-x}x^{\alpha }}{x^{-2}}=0\tag{4}$$ con el convergente integral de la $$\displaystyle\int_{1}^{\infty }\dfrac{dx}{x^{2}}\tag{5}.$$
2. Como para $I_1$ considerar dos casos. (a) Si $n\geq 1$ observa que el $\lim_{x\rightarrow 0}e^{-x}x^{n-1}=0$, lo $I_1$ es un buen integral. (b) Si $0<n<1$, el integrando $e^{-x}x^{n-1}$ se comporta como $x^{n-1}$ cerca de $n=0$, debido a $e^{-x}\rightarrow 1$$x\rightarrow 0$. Desde $$\displaystyle\int_{0}^{1}\dfrac{dx}{x^{1-n}}\tag{6}$$ is convergent if and only if $1-n<1$, i.e. $n>0$, so is $I_1$.

De ello se desprende que $\Gamma(n)=I_1+I_2$ es convergente para $n>0.$