¿Pueden dos polígonos convexos ser homeomórficos? Sé que el borde de un polígono es homeomorfo al círculo $S^{1}$, pero ¿qué pasa con el interior? ¿Alguien me ayuda?
¿Puedes escribirlo claramente?
Respuestas
¿Demasiados anuncios?
kotomord
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Que el punto interior sea el centro de (r, f) - coordenadas polares. G(f) es un radio maximal por el ángulo f. Ver (r, f) -> (f/G(f), f)
Sé que la forma de probar que el límite de un polígono convexo es homeomorfo a $S^{1}$. Lo primero que puedo asumir es que el polígono yace sobre un círculo, por lo que cada punto $a$ en el límite del polígono corresponde a un punto que es la intersección entre la línea que pasa por el centro y el punto $a$ y el círculo (llamemos a este homeomorfismo $h$ entre los dos límites del polígono convexo), entonces puedo extender este homeomorfismo si $p,q$ son dos puntos en regiones poligonales, respectivamente. Luego, el segmento de línea de $p$ a $x$ corresponde al segmento de línea de $q$ a $h(x)$. ¿Es válida esta prueba?
Hasek
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Si ya sabes que el límite de un polígono convexo es homeomorfo a $S^1$, entonces puedes ver fácilmente que cualquier polígono convexo sólido (por sólido me refiero a que observamos tanto su interior como su límite) es homeomorfo al disco $D^2$ (y $\partial D^2 = S^1$). Dado que cualquier par de polígonos convexos sólidos son homeomorfos a $D^2$, también son homeomorfos entre sí.
Puedes escribir la fórmula directa para homeomorfismo como sugirió kotomord, pero en este caso tan simple quizás sea aún mejor imaginar esto topológicamente. Dos espacios son homeomórficos si puedes deformar uno en otro sin desgarrarlo en pedazos (puedes soplar, apretar, escalar y deformar como quieras pero no puedes cortar el material). Supón que tienes el disco inscrito en el cuadrado, entonces puedes inflarlo hasta llegar al cuadrado completo. Funciona de manera similar con polígonos también.
Sé el camino para demostrar que el límite de un polígono convexo es homeomorfo a $S^1$. Primero, puedo asumir que el polígono se encuentra en el círculo, por lo que cada punto $a$ en el límite del polígono corresponde a un punto que es la intersección entre la línea a través del centro y el punto $a$ y el círculo (llamo a este homeomorfismo $h$ entre los dos límites del polígono convexo), luego puedo extender este homeomorfismo si $p, q$ son dos puntos en regiones poligonales, respectivamente. Entonces, el segmento de recta desde $p$ hasta $x$ corresponde al segmento de recta desde $q$ hasta $h(x)$. ¿Es cierta esta demostración?
panopticoncentral
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Otra sugerencia es que puedes usar el teorema del mapeo de Riemann para ver que cualquier par de polígonos abiertos convexos (es decir, un subconjunto simplemente conexo del plano complejo) son conformemente equivalentes, lo que significa que el mapeo entre ellos no solo es homeomórfico sino también conforme. Ref: https://es.wikipedia.org/wiki/Teorema_del_mapeo_de_Riemann
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¿Cuál es la definición de un polígono convexo (con el que estás trabajando)? Ya que estás pidiendo hacer específica la homeomorfía (en los comentarios abajo), sería útil tener una definición explícita.