¿Pueden dos polígonos convexos ser homeomórficos? Sé que el borde de un polígono es homeomórfico al círculo $S^{1}$ pero ¿no sé con el interior? ¿Alguien me puede ayudar?
¿Puedes escribirlo claramente?
Respuestas
¿Demasiados anuncios?
kotomord
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Deje que el punto interno sea el centro de (r,f) - coordenadas polares. G(f) es un radio máximo por el ángulo f. Ver (r,f) -> (f/G(f), f)
Sé que la forma de probar que el límite de un polígono convexo es homeomorfo a $S^{1}$. Primero puedo asumir que el polígono yace sobre un círculo, por lo que cada punto $a$ en el límite del polígono corresponde a un punto que es la intersección entre la línea que pasa por el centro y el punto $a$ y el círculo (llamemos a este homeomorfismo $h$ entre los dos límites del polígono convexo), luego puedo extender este homeomorfismo si $p, q$ son dos puntos en regiones poligonales, respectivamente. Entonces el segmento de línea de $p$ a $x$ corresponde al segmento de línea de $q$ a $h(x)$. ¿Es esta prueba verdadera?
Hasek
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Si ya sabes que el límite de un polígono convexo es homeomorfo a $S^1$, entonces puedes ver fácilmente que cualquier polígono convexo sólido (por sólido quiero decir que miramos tanto su interior como su límite) es homeomorfo al disco $D^2$ (y $\partial D^2 = S^1$). Dado que cualquier par de polígonos convexos sólidos son homeomorfos a $D^2$, también son homeomorfos entre sí.
Puedes escribir la fórmula directa para homeomorfismo como sugirió kotomord, pero en este caso tan simple quizás sea aún mejor imaginarlo topológicamente. Dos espacios son homeomorfos si puedes deformar uno en el otro sin desgarrarlo en pedazos (puedes inflar, apretar, escalar y deformar como quieras pero no cortar el material). Supongamos que tienes el disco inscrito en el cuadrado, entonces puedes inflarlo hasta que ocupe todo el cuadrado. Esto también funciona de manera similar con polígonos.
Sé la forma de demostrar que el límite de un polígono convexo es homeomorfo a $S^{1}$. Primero puedo asumir que el polígono yace sobre un círculo, por lo que cada punto $a$ en el límite del polígono corresponde a un punto que es la intersección entre la línea a través del centro - el punto $a$ y el círculo (llamemos a esta homeomorfía $h$ entre los dos límites del polígono convexo); luego puedo extender esta homeomorfía si $p,q$ son dos puntos en regiones poligonales, respectivamente. Entonces, el segmento de línea desde $p$ hasta $x$ corresponde al segmento de línea desde $q$ hasta $h(x)$. ¿Es válida esta demostración?
panopticoncentral
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Otra sugerencia es que puedes usar el teorema del mapeo de Riemann para ver que cualquier par de polígonos abiertos convexos (es decir, subconjuntos simplemente conexos del plano complejo) son equivalentes conforme, lo que significa que el mapeo entre ellos no solo es homeomórfico sino también conforme. Ref: https://en.wikipedia.org/wiki/Riemann_mapping_theorem
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¿Cuál es la definición de un polígono convexo (con el que estás trabajando)? Como estás pidiendo hacer la homeomorfía específica (en los comentarios a continuación), sería útil tener una definición explícita.