Definición de Bases para el Sistema Vecinal.

Question

Estoy tratando de aprender un poco acerca de la topología a través del estudio independiente. He estado usando Bert Mendelson "Introducción a la Topología - 3ª edición". Estoy teniendo un montón de diversión, pero estoy un poco confundida con respecto a la definición de 4.9 en la página 45. Voy a reproducir a continuación:

Definición 4.9 - Deje $a$ ser un punto en el espacio métrico $X$. Una colección de vecindarios $\mathcal{B}_a$ se llama una base para el barrio del sistema en $a$ si cada vecindad $N$ $a$ contiene algún elemento $B$$\mathcal{B}_a$.

Aquí está el origen de mi confusión, por favor me corrija si me equivoco:

1) en Cada barrio de $a$ debe contener $a$ sí, por lo que no cualquier barrio de $a$ automáticamente una base de la vecindad del sistema en $a$?

2) Si esto es cierto (y tengo la esperanza de que es falso) ¿cuál es la condición de que las fuerzas de $\mathcal{B}_a$ a crecer más allá de un triviales como, por ejemplo,$\mathcal{B}_a = \{a\}$?

Gracias.

Answer 1

1. Sí, en cada barrio de $a$ debe contener $a$; pero no es cierto que cualquier barrio en particular es una base para el barrio del sistema, porque no puede ser contenida en cada barrio. Por ejemplo, considere la recta real y $a=0$. El conjunto $(-1,1)$ es un barrio de $a$, pero no es por sí misma base de la vecindad del sistema en $0$ debido a que, por ejemplo, el barrio de $(-1/3,1/2)$ no contiene el conjunto de $(-1,1)$.

   Una base para el barrio de sistema es un conjunto de barrios con la propiedad de que cualquier barrio contiene (al menos) uno de los elementos del sistema. Se puede pensar en ellos como "lo suficientemente pequeño como representantes" de modo que al menos uno de estos representantes es contenida en un determinado barrio.

2. En primer lugar, tenga en cuenta que $\mathcal{B}_a$ es un conjunto de conjuntos, no un conjunto de elementos del espacio. Tal vez quiere decir $\mathcal{B}_a=\bigl\{\{a\}\bigr\}$, en lugar de $\mathcal{B}_a=\{a\}$. Segundo: si $\{a\}$ es un barrio de $a$ (no puede ser: por ejemplo, no puede ser abierto!) entonces es cierto que uno puede tomar $\mathcal{B}_a$ sólo $\bigl\{\{a\}\bigr\}$. Pero por ejemplo, $\{\{0\}\}$ no es una base de la vecindad del sistema para $0$ sobre la línea real (con la topología usual), debido a que $\{0\}$ no es ni siquiera un barrio de $0$.

   Es cierto que si hay un "más pequeño conjunto abierto que contiene a $a$", entonces uno puede tomar el set de ser una base de la vecindad del sistema. Pero en muchos espacios topológicos, no hay tal juego existe. En los números reales con la topología usual, no existe "el más pequeño conjunto abierto que contiene a $a$", por lo que una base de la vecindad del sistema en $a$ necesita tener más de un elemento: dado cualquier conjunto abierto que contiene a $a$, siempre hay una estrictamente menor conjunto abierto que contiene a $a$, por lo que una base para el barrio del sistema en este espacio topológico necesariamente tiene que contener un número infinito de elementos.

   (Un ejemplo de una base de la vecindad del sistema en $a$ para los números reales con su habitual topología sería $$\mathcal{B}_a = \left\{ \left.\left(a -\frac{1}{n},a+\frac{1}{n}\right)\right|\, n\in\mathbb{N}\right\}$$ que se puede comprobar: cada elemento de a $\mathcal{B}_a$ es un barrio de $a$, y en cada barrio de $a$ contiene al menos un elemento de a $\mathcal{B}_a$; también se puede sustituir la pone en $\mathcal{B}_a$ con los correspondientes intervalos cerrados, que son también los barrios y tienen las propiedades relevantes.)