¿Cómo encontrar el comportamiento asintótico para$x(n)$ si$x^{x^x} = n$?
Supuse que$x = O(\log\log{n})$ y tomé logaritmo dos veces.
Entonces obtengo$x = O(\frac{\log\log{n}}{\log\log\log{n}})$
¿Es correcto? ¿Cómo mejorar esta estimación?
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
Vamos a escribir
$$ \begin{align} &\log\log n = L_2(n), \\ &\log\log\log n = L_3(n), \\ &\log\log\log\log n = L_4(n). \end{align} $$
Luego de $x^{x^x} = n$ tenemos
$$ x\log x + L_2(x) = L_2(n), \etiqueta{1} $$
y así, desde $x \to \infty$$n \to \infty$, tenemos
$$ x\log x \sim L_2(n) \etiqueta{2} $$
como $n \to \infty$. Tomando los registros de este rendimientos
$$ \log x + L_2(x) \sim L_3(n), $$
a partir de la cual se deduce que
$$ \log x \sim L_3(n). \etiqueta{3} $$
Dividiendo $(2)$ $(3)$ podemos encontrar que
$$ x \sim \frac{L_2(n)}{L_3(n)}, \etiqueta{4} $$
de acuerdo con su estimación. Para obtener el siguiente término que recorrer.
Tomando los registros de $(1)$ y reorganización de los rendimientos
$$ \log x = L_3(n) - L_2(x) - \log\left(1 + \frac{L_2(x)}{x\log x}\right). \etiqueta{5} $$
De $(3)$ sabemos que
$$ L_2(x) = L_4(n) + o(L_4(n)), $$
así que podemos reescribir $(5)$
$$ \log x = L_3(n) - L_4(n) + o(L_4(n)). $$
La sustitución de estos en $(1)$ rendimientos
$$ x\Bigl(L_3(n) - L_4(n) + o(L_4(n))\Bigr) = L_2(n) - L_4(n) + o(L_4(n)). \etiqueta{6} $$
Ahora
$$ \Bigl(L_3(n) - L_4(n) + o(L_4(n))\Bigr)^{-1} = L_3(n)^{-1} + \frac{L_4(n)}{L_3(n)^2} + o\left(\frac{L_4(n)}{L_3(n)^2}\right), $$
lo que podemos concluir de $(6)$ que
$$ x = \frac{L_2(n)}{L_3(n)} + \frac{L_2(n) L_4(n)}{L_3(n)^2} + o\left(\frac{L_2(n) L_4(n)}{L_3(n)^2}\right) $$
como $n \to \infty$.
