grado de extensión de campos de residuo de cubiertas cíclicos

Question

Sea $d \geq 2$ $k$ un número entero, un campo que contenga el $d$-th las raíces de la unidad y $X$ y $Y$ liso variedades $k$.

Sea $\pi: Y \to X$ una cubierta cíclica unramified de grado $d$. Que $x$ ser un punto en residuo campo $X$ $k(x)$, y que $y$ ser un punto en $Y$ tal que $\pi(x)=y$. Indica que el campo de residuos de la $k(y)$ $y$.

¿Es cierto que $[k(y): k]$ $d$ de divide? ¿Si es así, usted me puede ayudar para probarlo?

Answer 1

Esto no es posible debido a que usted puede simplemente tomar $y$ a enormes en el residuo de grado. Permítanme ser más precisos.

Deje $f:X\to Y$ ser finito surjective de morfismos (unramified es innecesario) de lisa variedades de más de un campo de número de $k$ grado $d$.

Deje $L/k$ ser una extensión de campo de primer grado $>d$$y \in Y(L)\backslash Y(K)$. Tenga en cuenta que $[k(y) :k] = [L:K] > d$ no divide $d$. (Campo de extensiones $L/K$ existir si $Y$ es una curva.)

Sin embargo, por surjectivity hay $d$ puntos en la pre-imagen de $y$ (contadas con multiplicidad). Deje $x \in f^{-1}(y)$, de modo que $f(x) = y$. Esto contradice lo que usted está pidiendo.