Mapeo de funciones no convexas en funciones convexas

Question

Me pregunto si un no-convexo problema de optimización puede ser reducida a un convexo uno por asignación no de las funciones convexas/juegos en funciones convexas/conjuntos. En este contexto, me gustaría saber si la siguiente aseveración es verdadera:

Para cualquier no-convexa de la función $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ existe una función convexa $g : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ tal que $f\circ g$ es convexa.

Por ejemplo, $f = \log(x)$ es no convexo, sino $g(x) = \exp(x)$ (que es convexo) los rendimientos $(f\circ g) (x) = x$ convexas.

Otro ejemplo es $f(x) = x^3$ e $g(x) = \begin{cases} -x, & \text{if %#%#%} \\[2ex] x, & \text{otherwise} \end{casos}.$

EDIT: $x < 0$ constante es una solución trivial, pero no estoy interesado en este caso.

Answer 1

Cualquier constante de la función $g$ lo haría, pero que es inútil para problemas de optimización.

Si añadimos la condición de que $g$ no es constante, entonces la respuesta es que no, incluso para las funciones definidas en (finito o infinito) los intervalos. Más precisamente:

Deje $I, J \subset \Bbb R$ intervalos, y $g: I \to J$ un no constantes de función convexa. Entonces existe una función continua $f: J \to \Bbb R$ tal que $f \circ g$ no es convexa.

La idea es que un convexo función supone, como máximo, en cualquier cerrada intervalo en uno de los puntos de límite del intervalo, y que este la propiedad se conserva en virtud de un (inyectiva) cambio de variable.

Prueba: W. l.o.g. suponga que $g(x_0) < g(x_1)$ algunos $x_0 < x_1$. La convexidad de $g$ implica que el $g$ es estrictamente creciente en cualquier intervalo de $[x_1, x_2] \subset I$. A continuación, $g$ mapas de $[x_1, x_2]$ bijectively en $[y_1, y_2] := [g(x_1), g(x_2)] \subset J$.

Ahora podemos definir la $f: J \to \Bbb R$ $$ f(y) = \sin\left( \pi \frac{y-y_1}{y_2-y_1}\right) \, . $$

Si $f \circ g$ fueron convexa $$ \begin{aligned} \max \{ f(y) \mid y_1 \le y \le y_2 \} &= \max \{ (f\circ g)(x) \mid x_1 \le x \le x_2 \} \\ &= \max( (f\circ g)(x_1), (f\circ g)(x_2) ) \\ &= \max(f(y_1), f(y_2)) \\ & = 0 \end{aligned} $$

y que no es, obviamente, no es el caso.

Answer 2

Supongamos que$f$ está delimitado. Entonces,$f\circ g$ es limitado y convexo, por lo que es constante.

Answer 3

Si $f(x)=x\sin x$ $g:\Bbb R\to\Bbb R$ es convexo y no constante, entonces $f\circ g$ no es convexa. Si $g$ es una función convexa definida en $\Bbb R$, llame a $Q_g=\left\{x\in\Bbb \,:\, g(x)\ne \inf\limits_{y\in\Bbb R}g(y)\right\}=(-\infty, a)\cup (b,\infty)$ (para algunos $-\infty\le a\le b\le\infty)$. Vamos a decir $b<\infty$. Por convexidad, $\left.g\right\rvert_{(b,\infty)}:(b,\infty)\to \left(\inf\limits_{t\in\Bbb R}g(t),\infty\right)=(u,\infty)$ es un homeomorphism. Si $f\circ g$ fueron convexa, entonces $h=f\circ \left.g\right\rvert_{(b,\infty)}$ sería demasiado. En particular (ser convexa en un intervalo), se podría satisfacer este topológico de la propiedad:

Para todos $x$, $h(x)=\min\limits_{t\in\operatorname{dom}h} h(t)$ si y solo si existe un conjunto abierto $U\ni x$ tal que $h(x)=\min\limits_{t\in U} h(t)$.

Esta propiedad es invariante bajo la composición a la derecha por un homeomorphism. Esto implicaría que $h\circ\left. g\right\rvert_{(b,\infty)}^{-1}=\left.f\right\rvert_{(u,\infty)}$ lo tiene. Que no es el caso, porque el $x\sin x$ tiene infinitamente muchos mínimos locales en cualquier barrio de $\infty$ (cada alcanzar valores diferentes).