Prueba de $\left| \operatorname{cn}\left( x(1+ i) \mid m \right)\right|=1$ para $m=\frac{1}{2}$ y $x \in \mathbb{R}$

Question

Dejemos que $\operatorname{cn}(u\mid m)$ sea la notación de Gudermann para el Función elíptica de Jacobi $\operatorname{cn}$ . Se sabe que es doblemente periódica. Para $0<m<1$ los dos periodos, $4 K(m)$ y $4 i K(1-m)$ son puramente reales y puramente imaginarios, respectivamente. Para cualquier $n_1, n_2 \in \mathbb{Z}$ : $$ \operatorname{cn}\left(u + 4 n_1 K(m) + 4 n_2 i K(1-m) \mid m \right) = \operatorname{cn}\left(u \mid m \right) $$ y donde $K(m)$ denota el integral elíptica completa del primer tipo (en ese enlace $m=k^2$ ).

Para $m=\frac{1}{2}$ , $f(x,y) = \operatorname{cn}(x+i y \mid m)$ es doblemente periódica en un cuadrado con longitud lateral $4K\left(\frac{1}{2}\right) \approx 7.4163$ .

Mirando Proyección quinquenal de Peirce He observado empíricamente que, para $x\in \mathbb{R}$ , $f(x,x)$ es de magnitud unitaria: $$ \left| f(x,x) \right| = \left| \operatorname{cn}\left(x+i x \mid \frac{1}{2}\right) \right| = 1 $$

Estoy buscando una prueba, o una referencia a una.

Gracias.

Answer 1

Usando el teorema de la adición: $$ \operatorname{cn}\left(x+ i x \mid m\right) = \frac{\operatorname{cn}(x \mid m) \operatorname{cn}(i x \mid m) - \operatorname{sn}(x \mid m) \operatorname{sn}(i x \mid m) \operatorname{dn}(x \mid m) \operatorname{dn}(i x \mid m) }{1-m \operatorname{sn}^2(x \mid m) \operatorname{sn}^2(i x \mid m)} $$ Utilizando las transformaciones imaginarias de Jacobi: $$ \operatorname{cn}(i x \mid m) = \frac{1}{\operatorname{cn}(x \mid 1-m)} \quad \operatorname{sn}(i x \mid m) = i \frac{\operatorname{sn}(x \mid 1-m)}{\operatorname{cn}(x \mid 1-m)} \quad \operatorname{dn}(i x \mid m) = \frac{\operatorname{dn}(x \mid 1-m)}{\operatorname{cn}(x \mid 1-m)} $$ obtenemos $$ \operatorname{cn}\left(x+ i x \mid m\right) = \frac{\operatorname{cn}(x \mid 1-m) \operatorname{cn}(x\mid m)-i \operatorname{dn}(x \mid 1-m) \operatorname{dn}(x\mid m) \operatorname{sn}(x\mid 1-m) \operatorname{sn}(x \mid m)}{\operatorname{cn}^2(x\mid 1-m) + m \operatorname{sn}^2(x \mid 1-m) \operatorname{sn}^2(x \mid m)} $$ Sustituyendo $m={1 \over 2}$ obtenemos $$ \operatorname{cn}\left(x+ i x \mid {1 \over 2}\right) = \frac{\operatorname{cn}^2(x\mid {1\over 2}) - i \operatorname{sn}^2(x\mid {1\over 2}) \operatorname{dn}^2(x\mid {1\over 2}) }{\operatorname{cn}^2(x\mid {1\over 2}) + {1\over 2} \operatorname{sn}^4(x\mid {1\over 2})} $$ El valor absoluto ahora sigue siendo 1: $$ \left| \operatorname{cn}\left(x+ i x \mid {1 \over 2}\right) \right|^2 = \frac{\operatorname{cn}^4(x\mid {1\over 2}) + \operatorname{sn}^4(x\mid {1\over 2}) \operatorname{dn}^4(x\mid {1\over 2}) }{\left( \operatorname{cn}^2(x\mid {1\over 2}) + {1\over 2} \operatorname{sn}^4(x\mid {1\over 2}) \right)^2} $$ Utilizar las relaciones de definición $\operatorname{cn}^2(x \mid 1/2) + \operatorname{sn}^2(x \mid 1/2) = 1$ y $\operatorname{dn}^2(x \mid 1/2) + {1 \over 2} \operatorname{sn}^2(x \mid 1/2) = 1$ el lado derecho es igual a uno.

Answer 2

La transformación imaginaria de Jacobi $$ \mathrm{cn}(iu|m)=\frac{1}{\mathrm{cn}(u|m')},$$ y la paridad de $\mathrm{cn}(u)$ hará el trabajo. $\blacksquare$