No estoy seguro si esto es el derecho a la prueba (la encontré en línea):
Desde $n\mid m$, si incluimos $m = p_1^{\alpha_1}p_2^{\alpha_2}\cdots p_k^{\alpha_k}$,$n = p_1^{\beta_1}p_2^{\beta_2}\cdots p_k^{\beta_k} $$\beta_i \leq \alpha_i$. Por otro lado, por el Teorema del Resto Chino: $$(\mathbb Z_m)^\times \cong (\mathbb Z_{p_1^{\alpha_1}})^\times \times (\mathbb Z_{p_2^{\alpha_2}})^\times \times\dots \times (\mathbb Z_{p_k^{\alpha_k}})^ \times $$ $$(\mathbb Z_n)^\times \cong (\mathbb Z_{p_1^{\beta_1}})^\times \times (\mathbb Z_{p_2^{\beta_2}})^\times \times \dots \times(\mathbb Z_{p_k^{\beta_k}})^\times$$
Ahora, si definimos: $$\pi: \mathbb Z_m \longrightarrow \mathbb Z_n,\,\,\, a+(m) \mapsto a+(n)$$
entonces: $$\pi: \mathbb Z_{p_1^{\alpha_1}} \times \mathbb Z_{p_2^{\alpha_2}} \times \dots \times\mathbb Z_{p_k^{\alpha_k}} \longrightarrow \mathbb Z_{p_1^{\beta_1}} \times \mathbb Z_{p_2^{\beta_2}} \times \dots \times\mathbb Z_{p_k^{\beta_k}}$$ tiene mapa: $(a+p_1^{\alpha_1},a+p_2^{\alpha_2}, \dots, a+p_k^{\alpha_k}) \mapsto (a+p_1^{\beta_1},a+p_2^{\beta_2}, \dots, a+p_r^{\beta_k})$
Basta para demostrar que la declaración tiene por $n =p^{\beta}$ $m = p^{\alpha}$ $\beta \leq \alpha.$ en Primer lugar, nos damos cuenta de que $(a,p^{\alpha})=1 \Leftrightarrow (a, p^{\beta}) =1$, en tanto significa que $p \nmid a$. Ahora, la proyección: $$\pi: \mathbb Z/p^{\alpha}\mathbb Z \longrightarrow \mathbb Z/p^{\beta}\mathbb Z$$ maps $(\mathbb Z/p^{\alpha}\mathbb Z)^ \times$ to $(\mathbb Z/p^{\beta}\mathbb Z)^\times$, but $+(p^{\alpha}) \(\mathbb Z/p^{\alpha}\mathbb Z)^ \times$ iff $(a,p^{\alpha})=1 \Rightarrow (a, p^{\beta}) =1 $, that is $+(p^{\beta}) \(\mathbb Z/p^{\beta}\mathbb Z)^ \times$.
Ahora es hacia ya que si $\pi(a+(p^{\alpha})) = a+(p^{\beta}) \in (\mathbb Z/p^{\beta}\mathbb Z)^ \times$, $(a, p^{\beta}) =1$ y esto implica que $(a,p^{\alpha})=1$, lo $a+(p^{\alpha}) \in (\mathbb Z/p^{\alpha}\mathbb Z)^ \times$
A continuación, el natural surjective anillo de proyección es también surjective en las unidades.
