Grupos que actúan sobre politopos.

Question

Actualmente estoy leyendo el periódico "Polytopal Resoluciones de Grupos Finitos" [1] por Graham Ellis, James Harris y Emil Skoeldberg y tengo una pregunta con respecto a una temprana comentario de los suyos.

Su configuración básica es la siguiente:

Ellos toman un número finito de grupo $G$ actuar fielmente, de manera lineal y en forma ortogonal en el espacio Euclidiano ($E=\mathbb{R}^n$) y un vector $v \in E$ tal que $gv \neq v$ tiene para todos los $g \neq 1$$G$. Entonces, ellos consideran que el convex hull $P(G,v)$$Gv$, lo que es obviamente un polytope (desde $G$ es finito) y por lo tanto natural CW-Complejos. El grupo actúa en $P(G,v)$ por permuting caras en cada dimensión, y podemos concluir que el celular complejo de cadena $C_*(P)$ es en realidad un complejo de $\mathbb{Z}G$-módulos (de hecho, estoy poco clara en la definición de la diferencial correspondiente, pero por suerte, hay algoritmos que calculan si es necesario).

Mi problema comienza cuando empiezan a describir la acción en $C_k(P)$: El módulo de $C_k(P)$ $\mathbb{Z}$- libre (no necesariamente $\mathbb{Z}G$-libre) con conexión de generadores que pueden ser identificados con la $k$-caras de $P(G)$ $G$- acción $ge=\pm f$ si $g$ mapas de la $k$-cara $e$ $f$con signo dependiendo de la orientación con la que $g$ mapas de $e$$f$. Estoy bastante seguro sobre el significado de este.

1. Si tengo un $1$- o $2$cara me puede dar una orientación en un poco de manera natural, pero ¿cuál es la orientación de algunas $5$-la cara de un polytope en la dimensión $8$ (por ejemplo).

2. Incluso si hubiera una manera de dar a cada una de las $k$-de cara a una orientación no la opción del tipo de arbitrario?

3. Lo que me confunde más, es la implementación: En la HAP-paquete para el sistema de álgebra computacional de la Brecha que hay un algoritmo que calcula el $C_*(P)$ por $G$$v$. Entre otras cosas, una función de "acción($k,j,g$)" se calcula con la salida de $\pm1$ dependiendo de cómo el elemento $g$ actúa sobre la permutación en la celda de "j" en la dimensión $k$. Sin embargo, si usted tiene un vistazo a el código se puede ver que la salida no depende de la $k$$j$, pero sólo en la propiedad de $g$ pertenecen al subgrupo $G_{ev}$ la cual es generada por todos los productos de dos generadores de $G$ (el grupo electrógeno $G$ se calcula a través de una Brecha de comando). Esto no es invariante bajo la elección del sistema de generación. ¿Por qué la acción de la orientación depende sólo de esta elección de un sistema de generación?

Gracias de antemano por cualquier ayuda.

[1] disponible en http://hamilton.nuigalway.ie/ (preprints)

Answer 1

1) Como mi entender, la orientación de g.e depende tanto de k-celular e y el elemento de g. Se podría definir de la siguiente manera: Supongamos que B es el elegido de base para el k-dimensional espacio que contiene a k-celular e y B' el elegido base para el k-dimensional espacio que contiene a f. La orientación se define por el signo del determinante de la matriz, la cual es exactamente la matriz de transformación de cambio de base de la g.B a B'.

2) Como ya se ha mencionado anteriormente, la orientación depende de su elección de las bases.

3) La función de la Acción(k,j,g) del curso depende de k y j. Primer paso, tratamos de asignar el elemento de g tiene un elemento de h en el estabilizador de la j, k-celular (que, en realidad, el representante de la j, k-órbita). A la pregunta "cómo asignar?" bueno, es tu elección. En la función era la opción del autor. Así que ahora, sólo nos preocupamos por el signo de la estabilizador de elementos que es exactamente la orientación definida anteriormente. En la función se puede ver el RotSubgroup, en realidad, es el subgrupo de todo signo "=1" elementos de la estabilizador mencionados anteriormente.

Tuan