Por ahora voy a responder a la pregunta con respecto a este particular ejemplo: se ha identificado correctamente fundamental de dominio, y su área es de hecho 1. Pero esto necesita ser formulado como una afirmación matemática en el uso de celosías en la Mentira de los grupos.
Permítanme hacer esta formulación y dar la prueba, en unos pocos pasos.
Paso 1: se puede considerar $\Gamma = \{(n,n \sqrt{2} \,\text{mod}\, 1) \bigm| n \in \mathbb{Z}\}$ como una celosía en la Mentira de grupo $\mathbb{R} \times S^1$, donde "$n \sqrt{2} \,\text{mod}\, 1$" significa"$\exp(2 \pi i \sqrt{2}) \in S^1$; y donde por un "entramado" me refiero a un discreto cocompact subgrupo. La Mentira de grupo $\mathbb{R} \times S^1$ es decir, desde una perspectiva topológica, una bi-cilindro infinito. El finito subcylinder $[0,1] \times S^1$ es fundamental el dominio de la celosía $\Gamma$. Si le damos a $\mathbb{R}$, de ordinario medida de Lebesgue y $S^1$ medida $\text{radians}/2\pi$, entonces el área de la fundamental de dominio $[0,1] \times S^1$ es igual a~$1$.
Paso 2: Considere el universal que cubre el mapa/homomorphism $\mathbb{R} \times \mathbb{R} \to \mathbb{R} \times S^1$ definido por $(x,y) \mapsto (x,\exp(2 \pi i y))$. Deje $\widetilde \Gamma \subset \mathbb{R} \times \mathbb{R}$ ser la inversa de la imagen de $\Gamma$ bajo este homomorphism. A continuación, $\widetilde\Gamma$ es el entramado en el mismo sentido, un discreto cocompact subgrupo de $\mathbb{R} \times \mathbb{R}$. Además, $\widetilde\Gamma$ tiene, como base, los vectores $(0,1)$, $(1,\sqrt{2})$. La imagen que has dibujado es la intersección
$$\widetilde\Gamma \cap [-50,50] \times [0,1]
$$
El entramado $\widetilde\Gamma$ tiene como fundamental el dominio de la zona~$1$, el paralelogramo se extendió con vértices $(0,0)$, $(0,1)$, $(1,\sqrt{2})$, $(1,1+\sqrt{2})$.
Así, lo que esto viene a demostrar que la celosía $\widetilde\Gamma$ tiene un paralelogramo en forma fundamental el dominio de área $1$ completamente contenida en $[-50,50] \times [0,1]$.
Paso 3:
Hay un isomorfismo $\widetilde\Gamma \approx \mathbb{Z}^2$ cuya inversa está dada por la transformación lineal
$$T(m,n) = m(1,\sqrt{2}) + n(0,1)
$$
y esta transformación lineal ha determinante $1$.
También, cualquier par de vectores en $\mathbb{Z}^2$ que forman una $2 \times 2$ matriz de determinante $\pm 1$ constituye una base para $\mathbb{Z}^2$.
La combinación de estos, cualquier par de vectores en $\widetilde\Gamma$ que forman una $2 \times 2$ matriz de determinante $\pm 1$ constituye una base para $\widetilde\Gamma$.
Y eso es exactamente lo que sus cálculos muestran para los vectores $(5, 5\sqrt{2}-7), (-7, -7\sqrt{2} + 10)$.
