$\def\d{\mathrm{d}}\def\peq{\mathrel{\phantom{=}}}$Lema: Si $ξ \sim N(0, D)$ $m$- dimensiones aleatoria normal vector con $D > 0$ $A$ $m × m$ positiva definida la matriz, entonces existe una constante $c > 0$ tal que$$
P(ξ^T Aξ < M^2) < c\min(M, M^m). \quad \forall M > 0
$$
Prueba: Desde $A$ es positiva definida, entonces existe un $m × m$ invertible real de la matriz de $P$ tal que $A = P^T P$. Tenga en cuenta que $ξ \sim N(0, D) \Rightarrow η = Pξ \sim N(0, PDP^T)$, e $D_1 = PDP^T > 0$. Debido a que la densidad
la función de $η$, es decir$$
f_n(x) = \frac{1}{(2π)^{\frac{m}{2}} |D_1|} \exp\left( -\frac{1}{2} x^T D_1^{-1} x \right),
$$
es continua en a$x = 0$,\begin{align*}
&\peq P(ξ^T Aξ < M^2) = P(η^T η < M^2)\\
&= \int\limits_{|x| < M} f_η(x) \,\d x \sim f_η(0) \int\limits_{|x| < M} \d x \sim c_0 M^m. \quad (M → 0^+)
\end{align*}
Por lo tanto existe $M_0 > 0$ tal que $P(ξ^T Aξ < M^2) < (c_0 + 1) M^m$$0 < M \leqslant M_0$. Ya que para $M > M_0$, $P(ξ^T Aξ < M^2) \leqslant 1 < \dfrac{M^m}{M_0^m}$, luego de tomar $c_1 = \max\left(c_0 + 1, \dfrac{1}{M_0^m} \right)$,$$
P(ξ^T Aξ < M^2) < c_1 M^m. \quad \forall M > 0
$$
También, supongamos $η = (η_1, \cdots, η_m)^T$. Desde $η_1 \sim N(0, σ_1^2)$ algunos $σ_1 > 0$,\begin{align*}
&\peq P(ξ^T Aξ < M^2) = P(η^T η < M^2) \leqslant P(η_1^2 < M^2)\\
&= \frac{1}{\sqrt{2π} σ_1} \int_{-M}^M \exp\left( -\frac{x^2}{2σ_1^2} \right) \,\d x \leqslant \frac{2M}{\sqrt{2π} σ_1}. \quad \forall M > 0
\end{align*}
Por lo tanto basta con retirar $c = \max\left( c_1, \dfrac{2}{\sqrt{2π} σ_1} \right)$.
Ahora, de vuelta a la pregunta. Definir $ξ = (ξ_{-n}, \cdots, ξ_n)^T$, $Y = (Y_{-n}, \cdots, Y_n)^T$, entonces$$
|∇f(x)|^2 = \left| \sum_{k = -n}^n ξ_k ∇Y_k(x) \right|^2 = ξ^T ∇Y(x) (∇Y(x))^T ξ.
$$
Tenga en cuenta que $ξ \sim N\left( 0, \dfrac{I_{2n + 1}}{2n + 1} \right)$. Para $n \geqslant 1$, teniendo en $m = 2n + 1$ $A = ∇Y(x) (∇Y(x))^T$ en el lema, existe una constante $c > 0$ tal que para cualquier $M > 0$,\begin{align*}
&\peq P(|∇f(x)| < nB) = P(|∇f(x)|^2 < n^2 B^2)\\
&< c\min(nB, n^{2n + 1} B^{2n + 1}) \leqslant cn^{2n + 1} · B^2. \quad \forall B > 0
\end{align*}
Por lo tanto $K$ puede ser tomado como $cn^{2n + 1}$.
