Apretar un conjunto abierto y un conjunto compacto entre dos conjuntos

Question

Deje $U\subseteq \mathbb{R}^2$ ser abierto, y $C\subset U$ ser compacto. Mostrar que existe $V$ abierto y $D$ compacto tal que $C\subset V\subset D\subset U$.

Mi intento : Para cada una de las $x\in U$ considera bolas $B(x,\epsilon_x)\subset U$. Ahora$\displaystyle C\subset \bigcup_{x\in U} B(x,\epsilon_x)$, por lo que hay un número finito de subcolección $\{x_1,\dots ,x_k\}\subset U$ tal que $\displaystyle C\subset \bigcup_{i=1}^{k} B(x_i,\epsilon_{x_i})=V$ decir. Ahora desde $C$ es compacto en $\mathbb{R}^2$ es cerrado y acotado. Por lo $C\subseteq B(0,M)$ algunos $M>0$. Ahora podemos reemplazar $U$ $U\cap B(0,M)$ wlog. Así que podemos suponer $U$ está acotada. Así que si podemos mostrar a $\bar{V}\subseteq U$, entonces hemos terminado. Entonces podemos tomar $D=\bar{V}$ y tenemos $D$ es compacto. Pero no puedo hacer esto. Alguna ayuda? Gracias.

Answer 1

No puede probar que$\overline{V} \subset U$, porque la identidad$V = U$ podría mantenerse.

Debe modificar la forma en que elige sus conjuntos$B(x, \epsilon_x)$. Simplemente elija$\epsilon_x$ lo suficientemente pequeño, para que$x \in B(x, \epsilon_x) \subset \overline{B(x, \epsilon_x)} \subset U$ se mantenga. El resto de la prueba se mantiene igual. Observe que$\bigcup \limits_{i = 1}^n \overline{B(x_i, \epsilon_{x_i})} \subset U$ es una unión finita de conjuntos compactos y, por lo tanto, compactos.