Si $f$ es continua en a $[0,1]$ e si $\int\limits_{0}^{1} f(x) x^n dx = 0, (n=0,1,2,...)$, demuestran que, a $f(x)=0$$[0,1]$.
Esto es lo que tengo, ¿cómo se ve?
Prueba:
Deje $P(x)$ ser cualquier polinomio. Entonces podemos escribir
$P(x) = a_nx^n + a_{n-1}x^{n-1} + ... + a_1x + a_0$.
Por lo tanto, tenemos, por la linealidad de la integral, que
$\int\limits_{0}^{1} f(x)P(x) dx$
$= \int\limits_{0}^{1} f(x) (a_nx^n + a_{n-1}x^{n-1} + ... + a_1x + a_0) dx$
$= a_n \int\limits_{0}^{1} f(x)x^n dx + ... + a_1 \int\limits_{0}^{1} f(x) x dx + a_o \int\limits_{0}^{1} f(x) x^0 dx$
$=0$.
Por el Teorema de Weierstrass (Teorema 7.26, Pg. 159, Rudin.), vemos que existe una secuencia de polinomios $P_n$ tal que $P_n(x) \rightarrow f(x)$ uniformemente en $[0,1]$. Por lo anterior, tenemos que $\int\limits_{0}^{1} f(x)P_n(x) dx = 0$ todos los $n \ge 1$.
Por El Teorema 7.16 (Pg. 151, Rudin.), debido a que esta convergencia es uniforme, podemos intercambio y límites de la integración y la obtención de
$0 = \lim\limits_{n \rightarrow \infty} \int\limits_{0}^{1} f(x) P_n(x) dx = \int\limits_{0}^{1} \lim\limits_{n \rightarrow \infty} f(x) P_n(x) dx = \int\limits_{0}^{1} f^2(x) dx$.
Pero, $f^2(x) \ge 0$ todos los $x \in [0,1]$ y desde $f^2$ es continua (porque $f$ es y también lo es la función de $x^2$) debemos tener ese $f^2(x) = 0$ todos los $x \in [0,1]$, porque de lo contrario sería distinto de cero en un barrio dentro de $[0,1]$ por la continuidad, por lo tanto la integral sería positivo porque sería positivo sobre el barrio y mayor o igual a cero en el resto de $[0,1]$. Pero, $f^2 = 0$$[0,1] \implies f = 0$$[0,1]$.
Q. E. D.
