¿Por qué 4 no es una raíz primitiva módulo p para cualquier primo p?

Question

Me pregunto por qué 4 no es una raíz primitiva para cualquier primo p?

He estado tratando de encontrar una respuesta sin éxito hasta ahora. Cualquier sugerencia sería muy útil, gracias de antemano!

Answer 1

Como $2^2=4,$

$4^{\left(\frac{p-1}2\right)}=2^{p-1}\equiv1\pmod p$ para cualquier primo$p>2$ usando el pequeño teorema de Fermat

Por lo tanto, el ord$_p4\le \frac{p-1}2<p-1$

Answer 2

Para cualquier$p$ relevante, el orden de 2 será mayor que el de$4 = 2\cdot 2$.

Answer 3

Sugerencia $\ $ Si$\rm\ 1 < d\mid p\!-\!1\ $ entonces$\rm\:mod\ p\!:\ a\not\equiv 0 \:\Rightarrow\: (a^d)^{(p-1)/d}\! \equiv a^{p-1}\! \equiv 1,\:$, por lo tanto,$\rm\:a^d$ tiene un máximo de orden$\rm\:(p-1)/d < p-1.\:$ Por lo tanto, los poderes$\rm\:d$ 'no son raíces primitivas. Su caso es$\rm\:d = 2.$

Answer 4

Esto se deduce de la respuesta de Bhattacharjee.

Si tiene$r$ una raíz primitiva de$p$. GCD$(r,p)=1$

$r^{2\cdot (\frac{p-1}{2})} \equiv r^{p-1}\equiv -1 \mod p \implies r^2$ no puede ser raíz primitiva si$r$ es una raíz primitiva.