Demostrando que $\cosh(x)\cosh(y) \geq \sqrt{x^2 + y^2}$

Question

Estoy tratando de probar la desigualdad:

$\cosh(x)\cosh(y) \geq \sqrt{x^2 + y^2}$

Jugué un poco con Geogebra y parece cierto. He intentado probar vía convexidad pero hasta ahora estoy unsuccesful.

Gracias por su ayuda.

Answer 1

Por AM-GM $$\cosh x\cosh y=\left(1+\frac{x^2}{2}+\frac{x^4}{24}+...\right)\left(1+\frac{y^2}{2}+\frac{y^4}{24}+...\right)\geq$ $ $$\geq\left(1+\frac{x^2}{2}\right)\left(1+\frac{y^2}{2}\right)\geq1+\frac{x^2+y^2}{2}\geq2\sqrt{1\cdot\frac{x^2+y^2}{2}}\geq\sqrt{x^2+y^2}$ $

Answer 2

Por el teorema de Taylor con la forma de Lagrange del resto, % $ $$ \cosh{x} = 1 + \frac{x^2}{2}\cosh{\xi} $$\xi$$0 \leq \lvert\xi\rvert \leq \lvert x\rvert$. Por lo tanto, $\cosh{x} \geq 1+\frac{1}{2}x^2$. Así $$ \cosh{x}\cosh{y} \geq (1+\tfrac{1}{2}x^2)(1+\tfrac{1}{2}y^2) \geq 1 + \frac{1}{2}(x^2+y^2), $ $ desde $x^2y^2>0$.

Ahora por la desigualdad de AM-GM $\frac{1}{2}(a+b) \geq \sqrt{ab}$, que $a=2$ y $b=x^2+y^2$, $$1+\tfrac{1}{2}(x^2+y^2) \geq \sqrt{2(x^2+y^2)} > \sqrt{x^2+y^2}, $ $ como sea necesario.

Answer 3

(1) en la superficie de curvatura constante $-1$, Ley de coseno es $ \cosh\ x\cosh\ y = \cosh\ z$$ where $\frac{\pi}{2}$ es correspondido ángulo wrt lado cuya longitud es $z$.

Así $z\geq \sqrt{x^2+y^2}$ para que tengamos un reclamo que \cosh\ z\geq $ z$.

(2) $\cosh\ z-z = 1 + \frac{z^2}{2} + \frac{z^4}{4!} + \cdots - z = e ^ {-z} + \ {\frac{z^3}{3.} + \frac{z^5}{5!} + \cdots } > 0 $