Simpléctica pero no los campos vectoriales hamiltonianos

Question

En geometría simpléctica, dado un colector $M$ con el cierre de la degenerada de simpléctica 2-formulario de $\omega$, se sabe que un campo vectorial $X$ es Hamiltoniano si $$\iota_X\omega=dH$$ for some smooth function $H\C^\infty(M)$. A vector field is symplectic if it preserves the symplectic structure along the flow, i.e. $$\mathcal L_X\omega=\omega\,.$$

Una de las maneras más fáciles para comprobar ellos es tener en cuenta que si $X$ es simpléctica, a continuación, $\iota_X\omega$ está cerrado, y si $X$ es de Hamilton, a continuación, $\iota_X\omega$ es exacta. En consecuencia, todos los campos vectoriales Hamiltonianos son simpléctica, pero el recíproco no es cierto. A nivel local, sin embargo, de Poincaré lema garantiza que cada simpléctica campo vectorial es Hamiltoniano.

Ahora considere simpléctica 2-torus $(\mathbb T^2,d\theta\wedge d\phi)$ y un campo de vectores $$X=\frac{\partial}{\partial \theta}\,.$$

El uso de la primera de Rham cohomology, por lo general se concluye que $X$ no es Hamiltoniano. Sin embargo, estoy seguro de por qué: tenga en cuenta que $\iota_X\omega=d\phi$, por lo que se ve para mí esto es exacto. Por supuesto, podemos ver que $\phi$ no está definido globalmente en $\mathbb T^2$, así que tal vez esto no es correcto. Pero este argumento implicaría que para simpléctica 2-esfera $(S^2,d\theta\wedge d\phi)$, $X$ no es Hamiltoniano (aunque debe ser, ya que es simpléctica y $$H^1_{\text{de Rham}}(S^2)=0\,.$$

Otro ejemplo: Considere la posibilidad de simpléctica 2-esfera $(S^2,d\theta\wedge dh$), donde $H(\theta,h)=h$ es una altura de función. En este caso, el mismo campo de vectores $X$ es de Hamilton, a partir de la obtención de la necesaria suave función Hamiltoniana $H$. Ahora me revertir el problema: considerar otro 2-torus $(\mathbb T^2,d\theta\wedge dh)$ y el mismo campo de vectores $X$. Ahora se ve como $X$ es de Hamilton, aunque sabemos $$H^1_{\text{de Rham}}(\mathbb T^2)\neq0\,.$$

De mi (ingenua) de la comprensión, $H^1_{\text{de Rham}}(M)$ debe ser el único obstáculo para una simpléctica vector de campo a campo de vectores Hamiltoniano, y no en la elección de la simpléctica 2-forma.

Pregunta: ¿Qué ha ido mal aquí? Para el primer ejemplo, por ejemplo, puede tener que ver con ver que $d\phi$ no es exterior derivado de la $\phi$, que puede que se me ha entendido mal.

Answer 1

Para el primer problema, que ya se han detectado dónde reside el problema: la variable $\phi$ no es una función definida en el conjunto del colector. De hecho, es un a priori de una función en un gráfico en el colector y un gráfico por lo general no cubre por sí mismo todo el colector.

Por otro lado, en el caso particular de que el toro es especial, ya que puede más o menos canónicamente 'parametrizar' el toro por $\mathbb{R}^2$ (que es su cobertura universal), por ejemplo a través del mapa de $q: \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^2 / \mathbb{Z}^2 \cong T^2$. Como $\phi$ puede ser elegida para ser una de las dos coordenadas cartesianas en $\mathbb{R}^2$, su derivado $d\phi$ (en el plano) se deja invariante por la traducción, en particular las de los vectores en $\mathbb{Z}^2$. Como tal, $d\phi$ 'pasa al cociente" es decir no existe un procedimiento bien definido y cerrado 1 formulario a- $\eta$ $T^2$ tal que $q^{\ast}\eta = d\phi$. Esta es otra de las motivaciones para escribir $\eta = d\phi$, pero tenga en cuenta que $\phi$ sí sería un multi-función con valores en el toro (y por lo tanto no es una función genuina, así que no se considere como una antiderivada a $\eta$).

En la esfera, cualquier gráfico se pierde al menos un punto, así que de nuevo no es de extrañar que uno puede encontrar una antiderivada para un cerrado de 1-forma en el interior de este gráfico. Pero si usted no puede extender $\phi$ $\theta$ a la totalidad de la esfera, no es claro cómo se puede extender sus derivados a nivel mundial cerrado de 1-formas en el primer lugar: el problema posiblemente no se muestra. Además, el hecho de que el campo de vectores $X = \partial/\partial \theta$ sobre la esfera puede ser definido globalmente (por la rotación de la invariancia y también por la nula vectores en los polos) no está relacionado con la (im)posibilidad de que $\theta$ (o $d\theta$) a nivel mundial es bien definido, pero sólo el hecho de que $X \lrcorner \omega$ es un sistema cerrado (y exacta) 1-forma : una antiderivada es la altura de la función, lo que evidentemente no es el ángulo de la 'función' $\theta$.

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La obstrucción a un simpléctica campo de vectores $X$ a ser Hamiltoniano es, precisamente, si la cerrada 1 formulario a- $X \lrcorner \omega$ es exacta. En otras palabras, ¿el cohomology de la clase $[X \lrcorner \omega] \in H^1_{dR}(M; \mathbb{R})$ desaparecer? (El nonvanishing de esta clase es la obstrucción a $X$ Hamiltonianos.) Esta pregunta tiene sentido en cualquier colector; el punto es que cuando $H^1_{dR}(M; \mathbb{R})=0$, entonces la respuesta es 'sí' lo que el simpléctica campo $X$. Así que en la 2-esfera, cualquier simpléctica campo vectorial es de Hamilton, mientras que en el toro depende de la simpléctica campo de vectores considerados. Dicho de otra manera, la (no)la desaparición de la 1-cohomology grupo es la obstrucción a la igualdad de $Symp(M, \omega) = Ham(M, \omega)$.