Indicar el espacio de funciones en el conjunto de las caras del icosaedro por $V_f$, esta es una de las 20 dimensiones de la representación de $A_5$ que actúa aquí como en el grupo de simetrías de rotación. Aquí va mi intento (que parece fallar):
La tabla de caracteres de $A_5$, la cual será necesario:
Hay un 9 dimensiones subrepresentation obtiene de la siguiente manera. Hay un 10 dimensiones sub representación, llame a esta $\mathbb{C}^{10}$, mediante la asignación de valores a los pares de caras opuestas de la icosaedro. A continuación, con la condición de que la suma de todos estos valores se dan a cero este sub representación de la sub representación de $\mathbb{C}^{10}$ tiene dimensión 9, que voy a denotar por $\mathbb{C}^9$. Ahora quiero descomponer esta representación el uso de la tabla de caracteres de $A_5$, ya que el $\chi_{\mathbb{C^{10}}}(g)=\chi_{\mathbb{C^{1}}}(g)+\chi_{\mathbb{C^{9}}}(g)=1+\chi_{\mathbb{C^{9}}}(g)$.
Para $g=(123)$, que la rotación de orden tres en el eje a través de las caras opuestas, vemos que sólo un par de caras es fija, por lo $\chi_{\mathbb{C^{10}}}((123))=1$, así que podemos ver que $\chi_{\mathbb{C^{9}}}((123))=0$. Este puede ser obtenido si se diera el caso de que $\mathbb{C}^9=\mathbb{C}^4\oplus\mathbb{C}^5$. Por supuesto, tenemos que probar algunos más elementos para garantizar que este sea el caso.
Para $g=(12345)$, que es la rotación de orden 5 obtenido por la rotación sobre el eje a través de un par de vértices, tenemos que ningún par de caras es fija, por lo $\chi_{\mathbb{C^{10}}}((12345))=0$, lo que implica $\chi_{\mathbb{C^{9}}}((12345))=-1$, lo que de nuevo se obtiene si $\mathbb{C}^9=\mathbb{C}^4\oplus\mathbb{C}^5$.
Ahora si $g=(12)(34)$ I get problemas. Este elemento se obtiene por la rotación de orden 2 en el eje a través de los bordes opuestos. Esto también no solucionar cualquier par de caras, de modo que $\chi_{\mathbb{C^{10}}}((12)(34))=0$ lo que implica de nuevo $\chi_{\mathbb{C^{9}}}((12)(34))=-1$, pero $\chi_{\mathbb{C^{4}}}((12)(34))+\chi_{\mathbb{C^{5}}}((12)(34))=1$, por lo que puede darse el caso de que $\mathbb{C}^9=\mathbb{C}^4\oplus\mathbb{C}^5$.
Yo no entiendo lo que está mal aquí, porque el uso de las otras representaciones irreducibles no puedo hacer que sea coherente con los valores de los personajes. Yo realmente apreciaría si alguien puede aclarar donde me equivoco. Gracias.
