Encontrar el orden del error de la aproximación $f' '(x)$

Question

Dado $$f''(x) = \frac{ f(x+h) - 2f(x) + f(x-h)}{h^2}.$$

Me doy cuenta de que esto es sólo una aproximación - que no se le dará el valor exacto de $f''(x)$ y por lo tanto no es un término de error. Sin embargo, no tengo ni idea de cómo ir sobre esta cuestión. Cualquier ayuda sería muy apreciada!

Answer 1

El uso de Taylor de expansión.

\begin{aligned} &f(x+h)=f(x)+f'(x)h+\frac{f''(x)}{2}h^2+\frac{f'''(x)}{2}h^3+\mathrm{O}(h^4)\\ &f(x-h)=f(x)-f'(x)h+\frac{f''(x)}{2}h^2-\frac{f'''(x)}{2}h^3+\mathrm{O}(h^4), \mathrm{add\,these\,two}\\ &f(x+h)+f(x-h)=2f(x)+f''(x)h^2+\mathrm{O}(h^4)\Rightarrow\\ &f''(x)=\frac{f(x+h)+f(x-h)-2f(x)}{h^2}+\mathrm{O}(h^2) \end{aligned}