Me pregunto acerca de por qué la $y_i=A_{ij}x_j$ implica $$d^Ny=|\det A|d^Nx.$$
Veo que $\det A$ es el producto de los valores propios de una matriz diagonal, pero aún no verá exactamente cómo. Por favor, ayudar.
Respuestas
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En alemán, esta propiedad es conocida como la Transformationssatz, pero no sé la traducción adecuada para ello.
Esta es, sin embargo, un caso especial de coordinar tranformations el cambio de la medida por el factor determinante de su Jacobiano, ya que, obviamente,$\frac{\partial y_i}{\partial x_j} = A_{ij}$. Que es el factor determinante que juega un papel en la transformación de la medida de la siguiente manera bastante general algebraicas consideraciones:
Primero: $\mathrm{d}^Nx$, sin embargo generalizada puede ser, es un terrible notación (en mi opinión, ocultando el subyacente de la geometría diferencial). Correctamente, debemos decir que somos la integración de la $n$forma $\mathrm{d}x_1 \wedge \dots \wedge \mathrm{d}x_N$ (con algunas prefactor $f(\vec x)$). Ahora, cada una de las $\mathrm{d}x_i$ $1$- forma, es decir, una sección de la cotangente del paquete, se transforma por la inversa de la matriz Jacobiana, es decir, $\mathrm{d}x_i \mapsto \frac{\partial x_i}{\partial y_j}\mathrm{d}y_j = A^{-1}_{ij}\mathrm{d}y_j$ (suma sobre índices repetidos implícita).
Mediante el resumen exterior álgebra definición del determinante, se sigue que
$$\mathrm{d}x_1 \wedge \dots \wedge \mathrm{d}x_N \mapsto A^{-1}_{1i_1}\mathrm{d}y_{i_1} \wedge \dots \wedge A^{-1}_{Ni_N}\mathrm{d}y_{i_N} = \det(A^{-1})\mathrm{d}y_1 \wedge \dots \wedge \mathrm{d}y_N$$
O, volviendo a la inicial de la notación,
$$\mathrm{d}^N x \mapsto \det(A^{-1})\mathrm{d}^N y$$
El uso de $\det(A^{-1}) = \det(A)^{-1}$ ahora se obtiene el resultado deseado.
Debemos remarcar que es también posible renunciar a la aplicación de la definición del determinante en términos abstractos, sino que también podemos simplemente utilizar el antisymmetry de la $\wedge$ para ganar algo de antisymmetrization por la de Levi-Civita $\epsilon$, y, a continuación, sólo tienes que comparar los obtenidos de la suma con la expresión para el factor determinante usando la de Levi-Civita símbolo.
Aman Agarwal
Puntos
15
Para añadir a la respuesta de @ACuriousMind, puede ser, comentó que el determinante de una matriz cuadrada es igual a la (firmado) el volumen del paralelepípedo generado por sus columnas.
Desde este paralelepípedo es exactamente la imagen de la unidad de cubo, el significado intuitivo de la sustitución teorema (el nombre con el que sé es que usted puede cambiar sus coordenadas y aún así obtener el mismo valor de la integral como el tiempo que correcto para el deformaciones infinitesimales de la unidad de cubo en cada punto.
