Binomial negativa con $4$ rostros blancos antes de $3$ caras negras

Question

Supongamos que una feria de $6$colindado mueren habiendo $2$ caras negras y $4$ caras blancas se rodó en varias ocasiones. ¿Cuál es la probabilidad de que $4$ rollos resultando en una cara blanca ocurrir antes de la $3$ rollos resultando en un rostro negro?

Attemped Solución:

Estoy tratando de hacer uso de la siguiente fórmula binomial negativa:

$n$ ensayos, dado $k$ de éxito: ${n-1}\choose{k-1}$$p^k$$(1-p)^{n-k}$

En nuestro caso, $n$ $4,5$ o $6$ $k$ se fija en $4$.

$3\choose{3}$$(\frac{2}{3})$$^4$(${1}\over{3}$)$^0$+$4\choose3$(${2}\over{3}$)$^4$(${1}\over{3}$)+$5\choose3$(${2}\over{3}$)$^4$(${1}\over{3}$)$^2$ = $.680$

Es esta una solución válida? Yo también estaría interesado en soluciones alternativas.

Answer 1

Es correcto.

Lo que su solución está haciendo es la suma de las probabilidades de que el 4 de blanco rollo será exactamente la 4ª, 5ª o 6ª rollo, respectivamente. Para el $k$-th blanco rollo de ser el $n$-th en general, en la anterior $n-1$ debe tener $k-1$ blancos exactamente, es por eso que usted está haciendo binomio con $n-1$$k-1$, pero entonces usted tiene que multiplicar por un $2/3$ real $n$-th rollo de ser blanco, y se obtiene la fórmula. Las posibilidades de $n$ 4, 5, y 6, debido a que el 7 de rollo sería demasiado tarde, ya no pudo.

También puede proceder de la siguiente manera: 4 claras antes de 3 negros es lo mismo que tener al menos 4 de los blancos entre los primeros 6 rollos: si esto sucede, usted tiene 4 claras antes (en la mayoría) 2 negros, y si no, entonces usted tiene por lo menos 3 negros y no más de 3 blancos en estos primeros 6 rollos, por lo que han fallado.

Así que es justo estándar binomial con $n=6$$4 \leq k \leq 6$: $$\sum_{k=4}^{6} \binom{6}{k} \left(\frac{2}{3}\right)^k \left(\frac{1}{3}\right)^{6-k} = \frac{31\cdot 2^4}{3^6} $$