Necesidad de mano de fórmula para $Var[\max(V, K)]$

Question

En el Apéndice 12A, p. 262 de este libro, el autor Casco deriva de un práctico, manejable fórmula para la expresión de $E[\max(V-K, 0)]$ donde $V$ es una variable aleatoria lognormally distribuida y $K$ es una constante.

Me gustaría a ver si de una forma similar a la mano de la fórmula puede ser derivado a $Var[\max(V-K, 0)]$.

Sé que si puedo de alguna manera el uso del Casco enfoque para encontrar $E[\max(V-K, 0)^2]$ entonces yo podría encontrar $Var[\max(V-K, 0)]$, pero estoy atascado.

En realidad, lo que me interesa realmente es$E[]$$Var[]$$\max(V, K)$, pero puedo probable que esta cifra fuera si usted me puede ayudar con el $\max(V-K, 0)$ de los casos.

Answer 1

El cálculo de la expectativa de $E[max(V-k,0) ]$ es el valor de una opción call, antes de descontar el tiempo.

Para responder a su pregunta, es que dado que el $V \sim \text{Lognormal}(a,b)$ con pdf $f(v)$:

A continuación, busque:

y

donde:

• Expect y Var son de la expectativa y de la varianza de las funciones de la mathStatica paquete de Mathematica, que estoy utilizando para automatizar el cálculo;
• Erf[z] denota la función de error $\text{erf}(z)=\frac{2}{\sqrt{\pi }}\int _0^z e^{-t^2} d t$, y donde la cdf de una variable Normal estándar que está dado por $\frac{1}{2} \left(1+\text{erf}\left(\frac{z}{\sqrt{2}}\right)\right)$;
• y haciendo la sustitución de $c = \frac{a-\log (k)}{\sqrt{2} b}$ hará que el resultado se vea más ordenado.

Answer 2

Sé que si puedo de alguna manera el uso del Casco enfoque para encontrar $E[\max(V−K,0)^2]$ entonces yo podría encontrar $\text{Var}[\max(V−K,0)]$, pero estoy atascado.

Los trucos en su referencia aplicado a esta nueva cantidad es \begin{align*} E[\max(V−K,0)^2] &= \int_K^{\infty}(v-k)^2f_V(v)dv \\ &= \int_K^{\infty} (v-k)^2 \frac{1}{v}(2\pi\sigma^2)^{-1/2}\exp\left[ -\frac{(\log v - \mu)^2}{2 \sigma^2}\right] dv\\ &= \int_{\log K}^{\infty}\left(\exp[s] - k\right)^2 (2\pi \sigma^2)^{-1/2}\exp\left[- \frac{(s-\mu)^2}{2\sigma^2} \right]ds\\ &= \int_{\frac{\log k - \mu}{\sigma} }^{\infty}(e^{2(\mu + r \sigma)} - 2ke^{\mu + r \sigma} + k^2)(2\pi)^{-1/2}e^{-r^2/2}dr. \end{align*}

Este se divide en tres integrales. Mirando la primera: \begin{align*} \int_{\frac{\log k - \mu}{\sigma} }^{\infty}e^{2(\mu + r \sigma)}(2\pi)^{-1/2}e^{-r^2/2}dr &= e^{2\mu}\int_{\frac{\log k - \mu}{\sigma} }^{\infty}(2\pi)^{-1/2}e^{-\frac{(r^2 -4 r \sigma)}{2}}dr \\ &= e^{2\mu+\sigma^2}\int_{\frac{\log k - \mu}{\sigma} }^{\infty}(2\pi)^{-1/2}e^{-\frac{(r -2 \sigma)^2}{2}}dr\\ &= e^{2\mu+\sigma^2} P\left(R > \frac{\log k - \mu}{\sigma}\right) \end{align*} donde $R \sim \text{Normal}(2\sigma,1)$. Así por "completar el cuadrado" como este, que se puede convertir expectativas de los censurados normal varia en probabilidades.