¿Por qué formas diferenciales y integrands tienen diferentes transformación de los comportamientos bajo diffeomorphisms?

Question

Deje $f$ ser un diffeomorphism, digamos que de $\mathbb R^n$$\mathbb R^n$, tales como la transición de mapa entre dos coordinar gráficos en una variedad diferenciable.

Un diferencial de $n$-forma (o más bien su coeficiente de la función que se obtiene mediante el uso de la canónica de un gráfico de atlas en $\mathbb R^n$), transforma esencialmente de la multiplicación por $\mathrm{det}(Df)$, mientras que las integrales de transformar esencialmente por la multiplicación de las integrando con $\lvert\mathrm{det}(Df)\rvert$.

(Esta es la razón de la necesidad de elegir una orientación con el fin de definir la integral de una forma superior en una variedad diferenciable.)

Pregunta: ¿Qué es una interfaz intuitiva o conceptual razón de estas diferentes transformación de los comportamientos de las formas y integrands?

Answer 1

Un colector no es necesario orientable. Pero la orientación del paquete siempre existe. Se puede interpretar como una verdadera línea de paquete. Entonces la densidad de bulto se obtiene por tensoring en el paquete de la parte superior de los formularios con la orientación del paquete. Por definición, un nonvanishing sección de la orientación paquete es una orientación, y una sección de la densidad del paquete es de una densidad. Compacto respaldado densidades puede ser integrado.

Localmente, las orientaciones de "transformar" por el signo del determinante (de la matriz jacobiana), la parte superior en forma determinante, y la densidad por el valor absoluto del determinante.

Basta para entender el caso de la recta real.

EDIT. Me he dado cuenta de que, en su pregunta, usted menciona colectores sólo en un paréntesis, y se concentran en $\mathbb R^n$. Abrir los subconjuntos de a $\mathbb R^n$ siempre es orientable. Pero el punto clave, de nuevo, es para entender lo que sucede en la recta real.

Para la línea real, es natural que para escribir una 1-forma como $f\ dx$, y una densidad de $f\ |dx|$ (con $f$ continuo). Si usted tiene un intervalo compacto $I$, entonces usted puede integrar a $f\ |dx|$$I$, e $f\ dx$ a partir de una atados el uno al otro.

EDICIÓN 2. Usted puede escribir la orientación estándar de $\mathbb R$$|dx|/dx$, y definir la integral de la forma $f\ dx$ sobre el intervalo de $I$ equipada con la orientación de la $\pm|dx|/dx$ como la integral sobre la nonoriented intervalo de $I$ de la densidad de $\pm f\ |dx|$ igual a la orientación veces el formulario.

Tan sólo necesita definir la integral de una densidad de más de un nonoriented (compacto) de intervalo. [Véase, por ejemplo, de Rham el libro sobre diferenciable colectores.]

EDICIÓN 3. En el mismo espíritu, para definir el $L^2$ espacio de un colector, que considere la mitad de densidades. Más precisamente, se completa el pre-espacio de hilbert de forma compacta compatible la mitad de densidades. La mitad de densidades de "transformar" por la raíz cuadrada del determinante.

El principio general es este:

Si $M$ $n$- colector, entonces cada acción de $G:=GL_n(\mathbb R)$ en un colector $F$ induce un paquete de más de $M$ con fibra de $F$, llamó a los asociados paquete. Si la acción es una $r$-dimensional $\mathbb R$-representación lineal, entonces el asociado paquete es un rango de $r$ vector paquete.

El ejemplo más básico es la tangente del grupo, asociadas a la representación natural en $\mathbb R^n$.

Deje $\chi$ ser los personajes de $G$ dado por el inverso del determinante. Los paquetes de $n$-formas, orientaciones, densidades, y la mitad de densidades, la línea de paquetes, respectivamente, asociados a los siguientes caracteres de $G$: $\chi$, el signo de $\chi$, su valor absoluto, y la raíz cuadrada de su valor absoluto.

Para la definición de los asociados paquete, ver

http://en.wikipedia.org/wiki/Associated_bundle#Fiber_bundle_associated_to_a_principal_bundle

En nuestro caso, el principal paquete es el marco de paquete:

http://en.wikipedia.org/wiki/Frame_bundle

Answer 2

La transformación de un diffeomorphism $f$ no debería hacer un (unsigned) integral negativo. Por ejemplo, decir que la integral de $f$ sobre un subconjunto $A$ $\mathbb{R}^n$ es sólo el habitual integral de Lebesgue, no se preocupe acerca de las formas diferenciales de orientación. Así se cambia entre las $f$ $f \circ \alpha$ $\alpha$ mapa no es posible cambiar el signo. Esta es la razón por la que el valor absoluto signos aparecen.

Se puede considerar un "elemento de volumen:" esto es algo que se transforma a través de $|Det f|$ para un diffeomorphism $f$. Cualquier diferencial de la forma lleva a un elemento de volumen (se toma su valor absoluto). Pero lo contrario no siempre es cierto. Uno todavía puede definir (sin signo) integración con respecto a un elemento de volumen. Sin embargo, tenga en cuenta que las cancelaciones de firmado de integración son útiles. Estas cancelaciones implica que la integral de una forma exacta en una compacta orientada colector es igual a cero, por ejemplo. Para restringir a los elementos de volumen pierde información interesante y útil.